《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

14. (2024·睢宁县期中)已知：如图1,在等边三角形 $ABC$ 中,点 $E$,$F$ 分别为边 $CA$,$BC$ 上的动点,且 $AE = CF$,直线 $AF$,$BE$ 交于点 $O$.
(1)如图1,当 $F$ 是 $BC$ 的中点时,$\angle BOF = $60$°$；
(2)在 $E$,$F$ 运动的过程中,$\angle BOF$ 的大小是否变化？请利用图2,证明你的结论；
(3)若将题目中的条件：“点 $E$,$F$ 分别在边 $CA$,$BC$ 上的动点”改为“点 $E$,$F$ 分别在边 $CA$,$BC$ 的延长线上的动点”(如图3所示),其余条件不变,(2)中的结论还成立吗？请说明理由.
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答案：
(1)60　　解析:
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°.
∵F是BC的中点,
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,
∴∠BOF=∠BAF+∠ABE=60°.
(2)∠BOF的大小不变化.证明如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°.
　　在△ACF和△BAE中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BA,\\ ∠ACF=∠BAE,\\ CF=AE,\end{array}\right.$
∴△ACF≌△BAE(SAS),
∴∠CAF=∠ABE,
∴∠BOF=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠CAF=∠BAC=60°.
(3)
(2)中的结论还成立.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°.
∴∠ACF=∠BAE=180°−60°=120°.
　　在△ACF和△BAE中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BA,\\ ∠ACF=∠BAE,\\ CF=AE,\end{array}\right.$
∴△ACF≌△BAE(SAS),
∴∠CAF=∠ABE,
∴∠BOF=∠BEA+∠EAO=∠BEA+∠CAF=∠BEA+∠ABE=∠BAC=60°.

15. (2024·丰县期中)教材回顾：我们在学习完“1.5 等腰三角形”后,教材设置了这样一道题目：如图1,$\triangle ABC$ 和$\triangle CDE$都是等边三角形,且点 $A$,$C$,$E$ 在一条直线上. 判断 $AD$ 与 $BE$ 是否相等,并证明你的结论. 我们通过证明$\triangle ACD \cong \triangle BCE$,得出 $AD = BE$,$\triangle ACD \cong \triangle BCE$ 的理由是______.
拓展思考：(1)设 $AD$ 与 $BC$ 的交点记为点 $F$,$BE$ 与 $CD$ 的交点记为点 $G$,连接 $FG$,猜想 $FG$ 与 $AE$ 的位置关系,并证明你的猜想(可直接使用结论$\triangle ACD \cong \triangle BCE$)；
自主探究：若$\triangle ABC和\triangle CDE$在直线 $AC$ 的异侧,其余条件不变,如图2所示,$AD$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $F$,$BE$ 与 $CD$ 的延长线交于点 $G$,$AF$ 与 $BG$ 交于点 $O$,连接 $GF$.
(2)求证：$FG // AE$；
(3)$\angle DOE = $______$°$；
思维发散：(4)如图1,若$\triangle CDE$绕点 $C$ 旋转,其余条件不变,当点 $A$,$C$,$E$ 不在一条直线上时,请你参考以上探究过程,在图3中画出图形的一种情况,并结合图形写出2条结论(等边三角形的性质除外,不需要给出理由).
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答案：
教材回顾:SAS
　　拓展思考:
(1)FG//AE.理由如下:
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE,即∠CAF=∠CBG.
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCG=180°−∠ACB−∠DCE=60°,
∴∠ACF=∠BCG.
　　在△ACF和△BCG中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CAF=∠CBG,\\ AC=BC,\\ ∠ACF=∠BCG,\end{array}\right.$
∴△ACF≌△BCG(ASA),
∴FC=GC.
　　又
∵∠FCG=60°,
∴△FCG是等边三角形,
∴∠CFG=60°,
∴∠CFG=∠ACB,
∴FG//AE.
(2)
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠BCE=60°.
　　在△ACD和△BCE中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE.
∵∠ACF=180°−∠ACB=120°,∠BCG=∠ACB+∠ACD=120°,
∴∠ACF=∠BCG.
　　在△ACF和△BCG中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CAF=∠CBG,\\ AC=BC,\\ ∠ACF=∠BCG,\end{array}\right.$
∴△ACF≌△BCG(ASA),
∴FC=GC.
　　又
∵∠FCG=180°−∠BCG=60°,
∴△FCG是等边三角形,
∴∠CFG=60°,
∴∠CFG=∠ACB,
∴FG//AC,即FG//AE.
(3)120　　解析:由
(2),得∠CAD=∠CBE,∠ACB=60°,
∴∠AOE=∠AFC+∠CBE=∠AFC+∠CAD=∠ACB=60°,
∴∠DOE=180°−∠AOE=120°.
(4)根据题意在图3中画出图形的一种情况，如图所示:
　　　　　　　　　　
　　结合图形写出2条结论:①AD=BE,②∠DOE=60°.
　　(答案不唯一,合理即可)