《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

8. (2024·泗阳县期中)如图,$AB= AC= AD$,且$AD// BC$.
(1)若$\angle C= 80^{\circ }$,则$\angle D= $40$^{\circ }$；
(2)若$\angle C= \alpha$,$\angle D= \beta$,则$\alpha与\beta$之间有怎样的数量关系？请说明理由.
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答案：
(1)40
(2)α=2β.理由如下：
∵AB=AC=AD,
∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,
∴∠C=∠ABC=∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠D.
∵AD//BC,
∴∠CBD=∠D,
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D
∴∠C=2∠D,即α=2β.

9. (2024·南京联合体期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AB的垂直平分线DE交AC于点E$,$CE的垂直平分线正好经过点B$,与$AC相交于点F$,则$\angle A$的度数是(A)

A.$36^{\circ }$
B.$28^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$45^{\circ }$

答案： A

10. (2024·内江)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle DCE= 40^{\circ }$,$AE= AC$,$BC= BD$,则$\angle ACB$的度数为______$^{\circ }$.

100

答案： 100 解析：
∵AC=AE,BC=BD,
∴设∠AEC=∠ACE=x,∠BDC=∠BCD=y,
∴∠A=180°-2x,∠B=180°-2y.
∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,
∴∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°,180°-(x+y)=∠DCE,
∴∠ACB+360°-2(x+y)=180°,
∴∠ACB+2∠DCE=180°.又
∵∠DCE=40°,
∴∠ACB=100°.

11. (2024·南通海门区期中)如图,在等腰三角形$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D为BC$延长线上一点,$EC\perp AC且AC= CE$,垂足为$C$,连接$BE$,若$BC= 6$,则$\triangle BCE$的面积为______.

答案：
9 解析：如图,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EF⊥BC于点F.
∵AB=AC,BC=6,
∴BH=HC=3.
∵∠ACE=90°,
∴∠ACH+∠ECF=90°.又
∵∠CAH+∠ACH=90°,
∴∠CAH=∠ECF.又
∵∠AHC=∠CFE=90°,AC=CE,
∴△ACH≌△CEF(AAS),
∴EF=CH=3,
∴S△BCE=$\frac{1}{2}$BC·EF=$\frac{1}{2}$×6×3=9,即△BCE的面积为9.

12. 某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下：设$\angle BAC= \theta (0^{\circ }＜\theta ＜90^{\circ })$.现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线$AB$,$AC$上.从点$A_{1}$开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中$A_{1}A_{2}$为第一根小棒,且$A_{1}A_{2}= AA_{1}$,若只能摆放$4$根小棒,则$\theta$的范围为______.

答案：
18°≤θ＜22.5° 解析：如图,
∵AA₁=A₁A₂,
∴∠AA₂A₁=∠A,
∴∠A₂A₁A₃=∠AA₂A₁+∠A=2∠BAC=2θ.
∵A₁A₂=A₂A₃,
∴∠A₂A₁A₃=∠A₂A₃A₁=2θ,
∴∠A₃A₂A₄=∠A+∠A₂A₃A₁=θ+2θ=3θ.
∵A₂A₃=A₃A₄,
∴∠A₃A₂A₄=∠A₃A₄A₂=3θ,
∴∠A₄A₃C=∠A₃A₄A+∠BAC=4θ,同理,得∠A₅A₄C=5θ.
∵只能摆放4根小棒,
∴4θ＜90°且5θ≥90°,解得18°≤θ＜22.5°.

13. (2024·泰兴市三模)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C= \alpha$,点$D是边AC$上一点(不与点$A$,$C$重合),线段$AE是由线段AD绕点A逆时针旋转2\alpha$得到,连接$DE$.判断直线$DE与BC$的位置关系,并说明理由.
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答案：
DE⊥BC.理由如下：如图,延长ED交BC于点F.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠E.在△ADE中,∠DAE=2α,
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$(180°-2α)=90°-α.又
∵∠ADE=∠CDF,
∴∠CDF=90°-α.
∵∠C=α,
∴∠CDF+∠C=90°-α+α=90°.
∵∠CFD+∠CDF+∠C=180°,
∴∠CFD=180°-90°=90°,即DE⊥BC.