《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

1. (2024·常州市期末)如图,根据尺规作图痕迹,点$M$在数轴上表示的数是(B)

A.$\sqrt{7}-1$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{7}+1$
D.$5$

答案： B

2. 已知a,b,c是一个三角形的三边,且a,b,c满足$(a-\sqrt{2})^{2}+$|$b-\sqrt{2}$|$+\sqrt{c - 2}= 0,$则这个三角形是等腰直角三角形.(填“直角”“等腰”“等腰直角”或“等边”)

答案： 等腰直角

3. (2024·南京建邺区校级期中)已知一个等边三角形的边长为$2$,则这个三角形的高为$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

4. (2024·宿迁宿豫区期末)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,$DE// AB交AC于点E$,若$CE = 1$,$CD= \sqrt{3}$,则$AE$的长为2.

答案： 2

5. (2024·常州天宁区校级月考)如图,若$CD是Rt\triangle ABC$斜边上的高,$AD = 3$,$CD = 4$,则$BC= $$\frac{20}{3}$.

答案： $\frac{20}{3}$　解析:
∵CD是Rt△ABC斜边上的高,AD = 3,CD = 4,且$CD^{2}=AD\cdot BD$(教材第100页例3的结论),
∴$4^{2}=3BD$,
∴$BD=\frac{16}{3}$.在Rt△BCD中,$BC=\sqrt{CD^{2}+BD^{2}}=\frac{20}{3}$.

6. (2024·泰州姜堰区期末改编)如图,在$\triangle ABC$中,$AC = BC = 5$,$AB = 6$,$CD\perp AB$,$\angle ABC的平分线交CD于点E$.求$DE$的长.

答案： 过点E作EF⊥BC于点F.又
∵CD⊥AB,BE是∠ABC的角平分线，
∴DE=EF.
∵AC=BC,CD⊥AB,AB=6,
∴$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$.在Rt△BDC中,BC=5,BD=3,由勾股定理,得$CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}$,
∴$CD=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,
∴$S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}BD\cdot CD=\frac{1}{2}×3×4=6$.
∵$S_{\triangle BDC}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BD\cdot DE+\frac{1}{2}BC\cdot EF$,
∴$\frac{3}{2}DE+\frac{5}{2}DE=6$,
∴DE=1.5.

7. $\triangle ABC$中,$\angle A＞90^{\circ}$,$AB = 6$,$AC = 8$,则$BC$的长度可能是( )

A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$14$

答案：
C　解析:由三角形的三边关系,得BC＜6+8=14.由题意，得△ABC 是钝角三角形，且∠A是钝角.如图，过点C作CD⊥AB并交BA的延长线于点D.在Rt△ACD中,CD＜AC=8,由勾股定理,得$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$.在Rt△BCD中,由勾股定理，得$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(AB+AD)^{2}+CD^{2}}=\sqrt{AB^{2}+2AB\cdot AD+AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}+2AB\cdot AD}=\sqrt{100+2AB\cdot AD}$.又
∵AB·AD＞0,
∴2AB·AD＞0,
∴$BC＞\sqrt{100}=10$,
∴10＜BC＜14,故C符合题意

8. (2024·启东市校级月考)$O是等边三角形ABC$内的一点,$OB = 1$,$OA = 2$,$\angle AOB = 150^{\circ}$,求$OC$的长.(提示：将$\triangle AOB绕点O顺时针旋转60^{\circ}到\triangle CO'B$,连接$OO'$)

答案：
如图,△AOB绕点B顺时针旋转60°到△CO'B,连接OO',则O'C=OA=2,OB=O'B=1,∠OBO'=60°,
∴△OO'B是等边三角形,
∴OO'=OB=1,∠OO'B=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∴∠ABO+∠CBO=∠CBO'+∠CBO,
∴∠ABO=∠CBO'.在△ABO和△CBO'中$\left\{\begin{array}{l}AB=CB\\ \angle ABO=\angle CBO'\\ OB=O'B\end{array}\right.$
∴△ABO≌△CBO'(SAS),
∴AO=CO'=2,
∴∠CO'O=∠CO'B - ∠BO'O=∠AOB - ∠BO'O=150° - 60°=90°.在Rt△COO'中,由勾股定理,得$OC=\sqrt{OO'^{2}+O'C^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.