《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

9. (2024·淮安市期中)定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 4$,$BC= 3$,则$\triangle ABC中AB$边的“中高偏度值”为( )

A.$\frac{24}{7}$
B.$\frac{25}{7}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{13}{5}$

答案：
B　解析:如图,取AB的中点D,连接CD,过C作CE⊥AB于点E.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,由勾股定理,得AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=5,
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2.5.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CE,
∴CE=$\frac{AC·BC}{AB}$=2.4.在Rt△BCE中,∠BEC=90°,由勾股定理，得BE=$\sqrt{BC^{2}-CE^{2}}$=1.8,
∴DE=BD−BE=0.7,
∴$\frac{CD}{DE}$=$\frac{2.5}{0.7}$=$\frac{25}{7}$,即△ABC中边AB的“中高偏度值”为$\frac{25}{7}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10. (2024·仪征市期中)直角三角形直角边之和为$3.5$,面积为$1.5$,则斜边长为2.5.

答案： 2.5　解析:设一直角边为a,另一条直角边为b,斜边长为c.由题意，得a+b=3.5,$\frac{1}{2}$ab=1.5,
∴ab=3,
∴c²=a²+b²=(a+b)²−2ab=(3.5)²−2×3=6.25.又
∵c＞0,
∴c=2.5.

11. (2024·常州武进区期中)在$\triangle ABC$中,$AB= 15$,$BC= 20$,$BD为边AC$上的高,且$BD= 12$,则$AC= $______.

答案：
7或25　解析:作BD⊥AC于点D,交直线CA于点D,
∵AB=15,BC=20,BD=12,
∴AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$=9,CD=$\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}$=16.如图1,当△ABC是钝角三角形时,AC=CD−AD=16−9=7;如图2,当△ABC是锐角三角形时,AC=CD+AD=16+9=25.
　　　 　　　　

12. (2024·大庆)如图1,直角三角形的两个锐角分别是$40^{\circ}和50^{\circ}$,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为$40^{\circ}和50^{\circ}$的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图2是1次操作后的图形.图3是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图1中的直角三角形斜边长为$2$,则$10$次操作后图形中所有正方形的面积和为______.

答案：
48　解析:如图，把题图2中各个小正方形标上字母.设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y,
∴S正方形A=x²,S正方形B=y².由题意得,正方形C的边长为2,并且是直角三角形的斜边,
∴S正方形C=4.由勾股定理,得x²+y²=2²=4,
∴S正方形A+S正方形B=4,
∴题图1中所有正方形的面积和=4+4=8.同理,得S正方形E+S正方形F=S正方形A,S正方形G+S正方形H=S正方形B,
∴S正方形E+S正方形F+S正方形G+S正方形H=S正方形A+S正方形B=4,
∴题图2中所有正方形的面积和=题图1中所有正方形的面积和+4=12,即1次操作后所有正方形的面积和=题图1中所有正方形的面积和+4.同理得,2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4,
∴2次操作后所有正方形的面积和=题图1中所有正方形的面积和+2×4=16,
∴10次操作后所有正方形的面积和=题图1中所有正方形的面积和+10×4=48.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

13. (2023·阜宁县期末)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是$1$,每个小格的顶点叫作格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为$10$的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为$2$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{13}$；
(3)如图3,点$A$,$B$,$C$是小正方形的顶点,求$\angle ABC$的度数.

答案：

(1)如图1的正方形的边长是$\sqrt{10}$,面积是10.
(2)如图2的三角形的边长分别为2,$\sqrt{5}$,$\sqrt{13}$.
　　　 　　 　　
(3)如图3,连接AC.
由题意及网格特征，得AC=BC=$\sqrt{3^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{10}$,AB=$\sqrt{2^{2}+4^{2}}$=$\sqrt{20}$,
∴△ABC是等腰三角形,AC²+BC²=AB²,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$×90°=45°.