《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

11. (2024·常州武进区期中)如图,AC平分∠BAD,CD⊥AD于点D,CE⊥AB于点E,点F在AD上,点E在AB上,且CF= CB。
(1)求证：BE= DF；(2)若CE= 6,AD= 8,求四边形ABCF的面积。
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答案：
(1)$\because AC$平分$\angle BAD,CE\perp AB,CD\perp AD,\therefore CD=CE.$ 在$Rt\triangle CDF$和$Rt\triangle CEB$中,$\because \left\{\begin{array}{l} \angle D=\angle CEB=90^{\circ},\\ CF=CB,\\ CD=CE,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle CDF\cong Rt\triangle CEB(HL),\therefore BE=DF.$
(2)$\because Rt\triangle CDF\cong Rt\triangle CEB,\therefore S_{\triangle CDF}=S_{\triangle CEB},$ $\therefore S_{四边形ABCF}=S_{四边形AECD}.$ 在$Rt\triangle AEC$和$Rt\triangle ADC$中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ CE=CD,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle AEC\cong Rt\triangle ADC(HL),\therefore S_{\triangle AEC}=S_{\triangle ADC}.$ $\because S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot CD=24,\therefore S_{四边形ABCF}=2S_{\triangle ADC}=48,$ 故四边形ABCF的面积为48.

12. (2024·泰州姜堰区期中)如图,在△ABC中,AB＞AC。
(1)用直尺和圆规作点D,使得点D到∠BAC的两边的距离相等,且DB= DC；(不写作法,保留作图痕迹)
(2)过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接BD,CD。判断∠ABD与∠ACD的数量关系,并说明理由。
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答案：

(1)如图,点D即为所求.
(2)结论:$\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}.$ 理由如下: $\because AD$平分$\angle BAC,DE\perp AB,DF\perp AC,$ $\therefore DE=DF.$ $\because$点D在线段BC的垂直平分线上, $\therefore DB=DC.$ 在$Rt\triangle DEB$和$Rt\triangle DFC$中,$\left\{\begin{array}{l} DB=DC,\\ DE=DF,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle DEB\cong Rt\triangle DFC(HL),\therefore \angle ABD=\angle DCF.$ $\because \angle DCF+\angle ACD=180^{\circ},\therefore \angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}.$
　　　　

13. (2024·启东市期中)已知：在△ABC中,作∠ABC的平分线BM,在BM上找一点D,使得AD= CD,过点D作DE⊥BC,交直线BC于点E。
(1)依题意补全图形；
(2)用等式写出AB,BC,BE之间的数量关系,并给出证明；
(3)如果把作∠ABC的平分线BM,改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM,其他条件不变,直接用等式写出AB,BC,BE之间的数量关系。
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答案：

(1)依题意补全图形如图1所示:
　　　　
(2)$AB=2BE - BC.$证明如下: 如图1,过点D作$DF\perp AB$于点F. $\because BM$平分$\angle ABC,DF\perp AB,DE\perp BC,\therefore DE=DF.$ 在$Rt\triangle ADF$和$Rt\triangle CDE$中,$\left\{\begin{array}{l} DE=DF,\\ AD=CD,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle ADF\cong Rt\triangle CDE(HL),\therefore AF=CE.$ 在$Rt\triangle BDF$和$Rt\triangle BDE$中,$\left\{\begin{array}{l} DF=DE,\\ BD=BD,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle BDF\cong Rt\triangle BDE(HL),\therefore BF=BE,$ $\therefore AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE - BC=2BE - BC.$
(3)$AB=2BE+BC.$ 解析:如图2,过点D作$DF\perp AB$于点F. $\because BM$平分$\angle ABP,DF\perp AB,DE\perp BC,\therefore DE=DF.$ 在$Rt\triangle ADF$和$Rt\triangle CDE$中,$\left\{\begin{array}{l} DE=DF,\\ AD=CD,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle ADF\cong Rt\triangle CDE(HL),\therefore AF=CE.$ 在$Rt\triangle BDF$和$Rt\triangle BDE$中,$\left\{\begin{array}{l} DF=DE,\\ BD=BD,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle BDF\cong Rt\triangle BDE(HL),\therefore BF=BE,$ $\therefore AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE+BC=2BE+BC.$