《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

5. (2024·江阴市期中)如图,已知 $ AC \perp AB $,$ BD \perp AB $,$ AB = 8 $ cm,$ AC = BD = 6 $ cm,点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上以 $ 2 $ cm/s 的速度由点 $ A $ 向点 $ B $ 运动,同时点 $ Q $ 在线段 $ BD $ 上由点 $ B $ 向点 $ D $ 运动,当其中一点到达终点时,另一点也同时停止运动。设运动的时间为 $ t $ s。
(1) 若点 $ Q $ 的速度与点 $ P $ 的速度相同,则当 $ t = 1 $ 时,$ \triangle ACP $ 与 $ \triangle BPQ $ 是否全等？请说明理由,并判断此时 $ PC $ 和 $ PQ $ 之间的位置关系；
(2) 如图 2,将原题中的“$ AC \perp AB $,$ BD \perp AB $”改为“$ \angle CAB = \angle DBA = 60^{\circ} $”,其他条件不变。设点 $ Q $ 的速度为 $ x $ cm/s,则是否存在满足题意的 $ x $,使得 $ \triangle ACP $ 与 $ \triangle BPQ $ 全等？若存在,求出相应的 $ x $,$ t $ 的值；若不存在,请说明理由。

答案： 5.
(1)当t=1时,AP=BQ=2 cm,BP=AC=6 cm.
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
在△ACP和△BPQ中,$\left\{\begin{array}{l} AP=BQ,\\ ∠A=∠B,\\ AC=BP,\end{array}\right. $
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,
∴∠CPQ=180°-(∠APC+∠BPQ)=90°,即PC⊥PQ.
综上可知,当t=1时,△ACP与△BPQ全等,此时线段PC与线段PQ垂直.
(2)由题意,得AP=2t cm,BQ=tx cm,则BP=(8 - 2t)cm.
①当△ACP≌△BPQ时,AC=BP=6 cm,AP=BQ,
∴$\left\{\begin{array}{l} 8 - 2t=6①,\\ 2t=tx②,\end{array}\right. $由①,解得t=1③.
将③代入②,得2×1=1×x,即x=2.
②当△APC≌△BPQ时,AP=BP,AC=BQ=6 cm,
∴$\left\{\begin{array}{l} 2t=8 - 2t①,\\ 6=tx②,\end{array}\right. $由①,解得t=2③.
将③代入②,得6=2×x,即x=3.
综上可知,存在,当x=2,t=1或x=3,t=2时,△ACP与△BPQ全等.

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BC = 7 $,高线 $ AD $,$ BE $ 相交于点 $ O $,且 $ AE = BE $。
(1) $ \angle ACB $ 与 $ \angle AOB $ 的数量关系是______；
(2) 求证：$ \triangle AEO \cong \triangle BEC $；
(3) $ F $ 是直线 $ AC $ 上的一点且 $ CF = BO $,动点 $ P $ 从点 $ O $ 出发,沿线段 $ OA $ 以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度向终点 $ A $ 运动,动点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发沿射线 $ BC $ 以每秒 $ 4 $ 个单位长度的速度运动,$ P $,$ Q $ 两点同时出发,当点 $ P $ 到达点 $ A $ 时,$ P $,$ Q $ 两点同时停止运动。设点 $ P $ 的运动时间为 $ t $ s,是否存在 $ t $ 值,使以点 $ B $,$ O $,$ P $ 为顶点的三角形与以点 $ F $,$ C $,$ Q $ 为顶点的三角形全等？若存在,请在图中画出大致示意图,并直接写出符合条件的 $ t $ 值；若不存在,请说明理由。

答案：
6.
(1)∠ACB+∠AOB=180° 解析：
∵AD,BE是△ABC的高,
∴∠AEO=∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠OAE=90°.
∵∠AOB=∠AEB+∠OAE,
∴∠AOB+∠ACB=∠AEO+∠OAE+∠ACD=90°+90°=180°.
(2)
∵BE是高,
∴∠AEB=∠BEC=90°.
由
(1),得∠AOB+∠ACB=180°.
∵∠AOB+∠AOE=180°,
∴∠AOE=∠ACB.
在△AEO和△BEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AEO=∠BEC,\\ ∠AOE=∠BCE,\\ AE=BE,\end{array}\right. $
∴△AEO≌△BEC(AAS).
(3)存在.理由如下：
由题意,得OP=t,BQ=4t.
∵OB=CF,∠BOP=∠QCF,
①当点Q在边BC上时,如图1,△BOP≌△FCQ,
∴OP=CQ,即t=7 - 4t,解得t=$\frac {7}{5}$;
　　　　 　　　　　
②当点Q在BC的延长线上时,如图2,△BOP≌△FCQ,
∴OP=CQ,即t=4t - 7,解得t=$\frac {7}{3}$.
综上可知,当t为$\frac {7}{5}$或$\frac {7}{3}$时,以点B,O,P为顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等.