《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

5. (2024·南通)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为$ m,n(m＞n) $.若小正方形面积为$ 5,(m+n)^{2}= 21 $,则大正方形面积为(B)

A.12
B.13
C.14
D.15

答案： B

6. 数学家欧几里得利用如图的图形验证了勾股定理.以 Rt△ABC 的三条边为边长向外作正方形 ABED ,正方形 ACHI ,正方形 BCGF ,连接 CE .若 BC= 8,AB= 10 ,则 △BCE 的面积为32.

答案： 32 解析:连接 AF.
∵在$Rt△ABC$中,$BC=8,AB=10,\therefore AC=\sqrt {AB^{2}-BC^{2}}=6,\therefore S_{△ABC}=\frac {1}{2}×6×8=24$.由题意,得$AB=EB,BF=BC,∠ABE=∠CBF=90^{\circ },\therefore ∠ABE+∠ABC=∠CBF+∠ABC$,即$∠EBC=∠ABF,\therefore △BCE\cong △BFA(SAS).$
又$\because BF=BC=8,\therefore S_{△BCE}=S_{△BFA}=64+24-\frac {1}{2}×(8+6)×8=32.$

7. (2024·中牟县期末改编)古往今来,人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理,其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成,图3的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图1中空白部分的面积为$ S_{1} $,图3中空白部分的面积为$ S_{2} $.请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.

答案： 由题意及图形,得$S_{1}=a^{2}+b^{2}+2×\frac {1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab,$
$S_{2}=c^{2}+2×\frac {1}{2}ab=c^{2}+ab.$
$\because S_{1}=S_{2},\therefore a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

8. (2024·连云港赣榆区期中)如图,$ AB⊥BC,DC⊥BC $,垂足分别为$ B,C $,点$ E 为线段 BC $上一点,且$ AB= EC,AC= DE,DE 交 AC 于点 F $.
(1)求证：$ AC⊥DE $；
(2)连接$ AD $,若$ AB= a,BC= b,AC= c $,通过用不同方法计算四边形$ ABCD $的面积,验证勾股定理.

答案：

(1)$\because AB⊥BC,DC⊥BC,\therefore ∠ABC=∠ECD=90^{\circ }.$
在$Rt△ABC$和$Rt△ECD$中,$\left\{\begin{array}{l} AC=ED,\\ AB=EC,\end{array}\right. $
$\therefore △ABC\cong △ECD(HL),\therefore ∠CAB=∠DEC.$
$\because ∠ABC=90^{\circ },\therefore ∠CAB+∠BCA=90^{\circ },\therefore ∠DEC+∠BCA=90^{\circ },$
$\therefore ∠EFC=90^{\circ }$,即$AC⊥DE.$
(2)如图,连接 AE,AD.

由
(1),知$△ABC\cong △ECD,$
$\therefore EC=AB=a,DC=BC=b,DE=AC=c,BE=b-a,$
$\therefore S_{四边形ABCD}=\frac {1}{2}(a+b)b=\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}b^{2}.$
$\because AC⊥DE,$
$\therefore S_{四边形AECD}=S_{△ADC}+S_{△AEC}=\frac {1}{2}AC\cdot DF+\frac {1}{2}AC\cdot EF=\frac {1}{2}AC\cdot (DF+EF)=\frac {1}{2}AC\cdot DE=\frac {1}{2}c^{2},$
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{四边形AECD}+S_{△ABE}=\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}a(b-a)=\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}ab-\frac {1}{2}a^{2},$
$\therefore \frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}b^{2}=\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}ab-\frac {1}{2}a^{2}$,化简,得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$