《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

8. (2024·连云港海州区期中)校园内有一块三角形的花坛,现要在花坛内建一景观喷泉,要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等,喷泉的位置应选在(B)
A.花坛三条中线的交点
B.花坛三边的中垂线的交点
C.花坛三条高所在直线的交点
D.花坛三条角平分线的交点

答案： B

9. (2024·无锡锡山区期中)在等腰三角形 $ABC$ 中,$\angle A = 2\angle B$,则 $\angle C$ 的度数为(D)
A.$36^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$36^{\circ}$或 $45^{\circ}$
D.$45^{\circ}$或 $72^{\circ}$

答案： D

10. (2024·南京玄武区期中)如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,$BC = BD$,$\angle BAD = 20^{\circ}$,则 $\angle BCD$ 的度数为50$^{\circ}$。

答案： 50

11. (2024·如东县期中)如图,$\triangle ABC$ 中,$AB = AC = 4$,$\angle A = 30^{\circ}$,$P$ 是 $BC$ 上任意一点,$PM \perp AB$于点 $M$,$PN \perp AC$ 于点 $N$,则 $PM + PN$ 的值为______。

答案：
2 解析:如图,连接 AP,过点 B 作 BT⊥AC 于点 T.
∵AB=AC=4,∠BAT=30°,
∴BT=$\frac{1}{2}$AB=2.
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,PM⊥AB,PN⊥AC,
∴$\frac{1}{2}$AC·BT=$\frac{1}{2}$AB·PM+$\frac{1}{2}$AC·PN,
∴PM+PN=BT=2. 　　　　

12. (2024·仪征市期中)如图,$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$,$M$ 是 $BC$ 的中点,$DM$ 平分 $\angle ADC$,若 $\angle ADC = 100^{\circ}$,则 $\angle MAB = $______$^{\circ}$。

答案：
40 解析:如图,作 MN⊥AD 于点 N.
∵∠B=∠C=90°,
∴∠B+∠C=180°,
∴AB//CD,
∴∠DAB=180°−∠ADC=80°.
∵DM 平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,
∴MN=MC.
∵M 是 BC 的中点,
∴MC=MB,
∴MN=MB.又
∵MN⊥AD,MB⊥AB,
∴AM 是∠BAD 的角平分线,
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=40°.

13. (2024·无锡新吴区期中)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是边 $BC$ 上的高线,$CE$ 是边 $AB$ 上的中线,$AD$ 与 $CE$ 交于点 $F$,点 $G$ 为 $CE$ 的中点,$CD = AE$。
(1)求证：$DG \perp CE$；(2)若 $AF = EF$,求 $\angle B$ 的度数。

答案：
(1)连接 DE.
∵AD 是边 BC 上的高线,
∴∠ADB=90°.
∵DE 是边 AB 上的中线,
∴BE=AE=DE=$\frac{1}{2}$AB.
∵AE=CD,
∴DE=CD.又
∵点 G 为 CE 的中点,
∴DG⊥CE.
(2)由
(1),知 DE=AE=BE=CD,
∴∠B=∠BDE,∠DEF=∠DCF.设∠B=∠BDE=x,∠AEF=y,
∴∠AED=∠B+∠BDE=2x,
∴∠DEF=∠AED−∠AEF=2x−y.又
∵AF=EF,
∴∠BAD=∠AEF=y.
∵∠BDE=∠DEF+∠DCF=2∠DEF,
∴∠DEF=$\frac{1}{2}$∠BDE=$\frac{1}{2}$x,
∴2x−y=$\frac{1}{2}$x,
∴y=$\frac{3}{2}$x.
∵AD 是边 BC 上的高线,
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,即 x+$\frac{3}{2}$x=90°,
∴x=36°,
∴∠B=36°.