《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD$,$CE分别是边AC$,$AB$上的高,$BD与CE交于点O$,延长$AO交BC于点F$。
(1)求证：$OD = OE$；
(2)判断$AF与BC$的位置关系,并说明理由。
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答案：
(1)
∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠AEC=∠ADB=90°.在△ABD和△ACE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠AEC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AB=AC,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△ACE(AAS),
∴AE=AD.
∵AB=AC,
∴AB - AE=AC - AD,即BE=CD.在△BOE和△COD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠OEB=∠ODC=90°,\\ ∠BOE=∠COD,\\ BE=CD,\end{array}\right. $
∴△BOE≌△COD(AAS),
∴OE=OD.
(2)AF与BC的位置关系是AF⊥BC.理由如下:由
(1),知△BOE≌△COD,
∴OB=OC.在△AOB和△AOC中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ AO=AO,\\ OB=OC,\end{array}\right. $
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠BAF=∠CAF.在△ABF和△ACF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAF=∠CAF,\\ AF=AF,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴∠AFB=∠AFC.又
∵∠AFB+∠AFC=180°,
∴∠AFB=90°,
∴AF⊥BC.

12. (2024·镇江市期中改编)如图,已知$CD\perp AB$,$D是AB$的中点,直线$l经过点A$,过点$C作CE\perp l$,垂足是$E$,点$F是线段AE$上一点,连接$BF$,$CF$,$\angle BFE = 2\angle BAC$,$CF平分\angle BFE$,判断线段$BF$,$EF$,$AF$之间的数量关系,并证明你的结论。
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答案：
线段BF,EF,AF之间的数量关系是BF=AF+2EF.证明如下:如图,过点C作CM⊥BF于M,连接BC.

∵CE⊥直线l,CM⊥BF,
∴∠CEF=∠CMF=90°.
∵CF平分∠BFE,
∴∠1=∠2.在△CEF和△CMF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CEF=∠CMF,\\ ∠1=∠2,\\ CF=CF,\end{array}\right. $
∴△CEF≌△CMF(AAS),
∴EF=MF,CE=CM.
∵∠BFE=∠1+∠2=2∠1,∠BFE=2∠BAC,
∴∠1=∠BAC=∠2.
∵∠BFE是△ABF的一个外角,
∴∠BFE=∠BAF+∠ABF,
∴2∠1=∠BAC+∠3+∠ABF,即2∠BAC=∠BAC+∠3+∠ABF,
∴∠BAC=∠3+∠ABF.
∵CD⊥AB,D是AB的中点,
∴∠CDA=∠CDB=90°,DA=DB.在△CDA和△CDB中,$\left\{\begin{array}{l} DA=DB,\\ ∠CDA=∠CDB,\\ CD=CD,\end{array}\right. $
∴△CDA≌△CDB(SAS),
∴∠BAC=∠ABC=∠ABF+∠4,
∴∠3=∠4.又
∵CE⊥直线l,CM⊥BF,
∴∠AEC=∠BMC=90°.在△ACE和△BCM中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AEC=∠BMC,\\ ∠3=∠4,\\ CE=CM,\end{array}\right. $
∴△ACE≌△BCM(AAS),
∴BM=AE=AF+EF,
∴BF=BM+MF=AF+EF+EF=AF+2EF.

13. (2024·封丘县期中)【综合与实践】在学习三角形全等的过程中,我们积累了一定的研究经验。请运用已有经验,对“一线三等角模型”进行研究。
【直接猜想】(1)如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$A在直线m$上,分别过点$B$,$C作直线m$的垂线,垂足分别为$D$,$E$。直接写出$DE$,$BD与CE$之间的数量关系：______。
【深入探究】(2)如图$2$,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$,$A$,$E三点都在直线m$上,且有$\angle BDA= \angle AEC= \angle BAC= \alpha$($\alpha$为任意锐角或钝角),此时(1)中的结论还成立吗？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由。
【问题解决】(3)如图$3$,$\angle BAD= \angle CAE = 90^{\circ}$,$AB = AD$,$AC = AE$,连接$BC$,$DE$,且$BC\perp AH于点H$,$DE与直线AH交于点G$,试判断$DG与EG$的数量关系,并给出证明过程。
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答案：

(1)DE=BD+CE
(2)此时
(1)中的结论还成立.理由如下:
∵∠BAD+∠CAE=180° - ∠BAC,∠BAD+∠ABD=180° - ∠ADB,∠BDA=∠BAC,
∴∠ABD=∠CAE.在△BAD和△ACE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠CAE,\\ ∠BDA=∠AEC,\\ AB=CA,\end{array}\right. $
∴△BAD≌△ACE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=DA+AE=CE+BD,故此时
(1)中的结论还成立.
(3)DG=EG.理由如下:如图,过D作DF⊥CD于点D,交直线HG于点F.

∵∠BAD=90°,BC⊥AH,
∴∠BAC=∠ADF=∠AHB=90°.易得∠FAD=∠B.在△BAC和△ADF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAC=∠ADF,\\ BA=AD,\\ ∠B=∠FAD,\end{array}\right. $
∴△BAC≌△ADF(ASA),
∴AC=DF.
∵AC=AE,
∴DF=AE.
∵∠ADF+∠DAE=180°,
∴DF//AE,
∴∠GDF=∠E.在△GDF和△GEA中,$\left\{\begin{array}{l} ∠GDF=∠E,\\ ∠DGF=∠EGA,\\ DF=EA,\end{array}\right. $
∴△GDF≌△GEA(AAS),
∴DG=EG.