《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

6. (2024·南京秦淮区期中)如图,在锐角三角形$ABC$中,点$E是边AB$上一点,$BE= CE$,$AD\perp BC于点D$,$AD与EC交于点G$。判断$\triangle AEG$的形状,并说明理由。

答案：
△AEG是等腰三角形.理由如下:
如图,过点E作EF⊥BC交于点F.
∵BE=CE,EF⊥BC,
∴∠1=∠2.
∵EF⊥BC,AD⊥BC,
∴∠EFD=∠ADC=90°,
∴EF//AD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
∴AE=EG,
∴△AEG是等腰三角形
　　　　

7. (2024·泰兴市期中)如图,在$3× 3$的网格中,以$AB$为一边,点$P$在格点处,使$\triangle ABP为等腰三角形的点P$有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案：
D　解析:当AP=AB时，以点A为圆心、AB长为半径作圆,交网格的格点为P₁；当BP=BA时,以点B为圆心、AB长为半径作圆，交网格的格点为P₂,P₃,P₄；当AP=PB时,作AB的垂直平分线，与网格的交点不在格点上.综上可知,使△ABP为等腰三角形的点P有4个.
　　　　

8. (2024·淮安淮安区期中)如图,在$\triangle ABC$中,已知$\angle ABC和\angle ACB的平分线相交于点F$,过点$F作DE// BC$,交$AB于点D$,交$AC于点E$,若$AB+AC= 8$,则$\triangle ADE$的周长为(B)

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： B　解析:
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,
∴∠ABF=∠FBC,∠ACF=∠FCB.
∵DE//BC,
∴∠BFD=∠FBC,∠CFE=∠FCB,
∴∠ABF=∠BFD,∠ACF=∠CFE,
∴BD=FD,CE=FE.
∵AB+AC=8,
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=8.

9. (2024·仪征市期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$M在CA$的延长线上,$MN\perp BC于点N$,交$AB于点O$,若$AO= 3$,$BO= 5$,则$MC$的长为11。

答案： 11

10. (2024·靖江市期中)在$\triangle ABC$中,$\angle A= 80^{\circ}$,当$\angle B= $20°,50°,80°时,$\triangle ABC$是等腰三角形。

答案： 20°,50°,80°　解析:由题意,分三种情况讨论:①当∠A,∠B是底角时,∠B=80°;②当∠A,∠C是底角时,∠B=180°−(∠A+∠C)=20°;③当∠A是顶角时,∠B=$\frac{1}{2}$×(180°−∠A)=50°.综上可知,当∠B=20°,50°,80°时,△ABC是等腰三角形

11. (2024·苏州工业园区校级月考)小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”,继续探索,他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线,那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明。
已知：如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$D为BC$中点。
求证：$\triangle ABC$是等腰三角形。(用两种不同的方法证明)
方法一：

方法二：

答案：
方法1:如图1,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.
∵D是BC中点，
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,$\left\{ \begin{array}{l} BD=CD,\\ DE=DF, \end{array} \right.$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴∠B=∠C,
∴△ABC是等腰三角形
　　　　　　
方法2:如图2,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.
∵D是BC中点,
∴BD=CD.
在△ADC和△EDB中,$\left\{ \begin{array}{l} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ BD=CD, \end{array} \right.$
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴∠CAD=∠BED,AC=EB.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BED=∠BAD,
∴AB=EB,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形