《2025年领先一步三维提优八年级数学上册苏科版》

13. (2024·江阴市期中)如图1,在锐角三角形$ABC$中,$CD,BE分别是边AB,AC$上的高,$M,N分别是线段BC,DE$的中点.
(1)求证:$MN\perp DE$;
(2)连接$DM,ME$,猜想$∠A与∠DME$之间的关系,并证明你的猜想;
(3)当$∠BAC$变为钝角时,如图2,上述(1)(2)中的结论是否都成立? 若成立,直接回答,不需证明;若不成立,请说明理由.

答案：

(1)如图1,连接DM,ME,
∵CD,BE分别是边AB,AC上的高,M是BC的中点,
∴DM= $\frac{1}{2}$BC,ME= $\frac{1}{2}$BC,
∴DM=ME.又
∵点N为DE中点,
∴MN⊥DE.
(2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180° - ∠A.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BMD+∠CME=(180° - 2∠ABC)+(180° - 2∠ACB)=360° - 2(∠ABC+∠ACB)=360° - 2(180° - ∠A)=2∠A,
∴∠DME=180° - 2∠A.
(3)结论
(1)成立,结论
(2)不成立.理由如下:如图2,连接DM,ME.在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180° - ∠BAC,
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180° - ∠BAC)=360° - 2∠BAC,
∴∠DME=180° - (∠BME+∠CMD)=180° - (360° - 2∠BAC)=2∠BAC - 180°.

14. (2024·兴化市期中)已知:等腰三角形$ABC$中,$∠ABC= ∠ACB= \alpha$.
(1)如图1,$D在BC$上,$AD= AE$,$∠BAD= ∠CAE$,求证:$\triangle ABD\cong\triangle ACE$;
(2)如图2,点$B是DE$的中点,$∠D= \alpha$,探究$∠D与∠E$的数量关系;
(3)如图3,$∠GBF= 90^{\circ}$,$∠E= \alpha$,$AD= AE$,$CE= m$,$AE// BG$,点$F,D,G,C,E$在同一直线上,求$FG$的值.(用含$m$的式子表示)

答案：

(1)
∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.在△ABD和△ACE中,$\left\{\begin{array}{l}AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)
∵∠D=α,∠ABC=∠ACB=α,
∴∠D=∠ACB=α,
∴BD=BC,∠CBE=2α.
∵点B是DE的中点,
∴BD=BE,
∴BC=BE,
∴∠E=∠BCE= $\frac{1}{2}$(180° - 2α)=90° - α,
∴∠D+∠E=90° - α+α=90°.
(3)如图,取FG的中点M,连接BM.
∵AD=AE,∠E=α,
∴∠E=∠ADE=α,
∴∠DAE=180° - 2α,
∵∠ABC=∠ACB=α,AB=AC,∠BAC=180° - 2α,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,$\left\{\begin{array}{l}AD=AE,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AB=AC,\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠BDA=∠E=α,BD=CE=m,
∴∠BDM=∠BDA+∠ADE=2α.
∵AE//BG,
∴∠BGM=∠E=α.
∵∠GBF=90°,
∴BM=MG= $\frac{1}{2}$FG,
∴∠BGM=∠GBM=α,
∴∠BMD=2α,
∴∠BMD=∠BDM,
∴BD=BM=m,
∴FG=2m.