《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

18 (2025·广东东莞东城区期末)2024年9月25日8时44分,中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域,成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹,准确落入预定海域.某校的一个数学兴趣小组看到新闻后,产生浓厚的兴趣,参加了学校科技节比赛,制作了航天火箭模型,为了向全校同学宣传自己的科技作品,用KT板制作了宣传版画,它是由一个三角形,两个梯形组成,已知KT板(阴影部分)的尺寸如图所示.
(1)用含a,b的代数式表示图中KT板模型的总面积;(结果需化简)
(2)若$a+b= 7,ab= \frac {25}{2}$,求KT板总面积.

答案：
(1)总面积为$\frac {1}{2}b\cdot a+\frac {1}{2}(b+3b)\cdot (\frac {3}{2}b)+\frac {1}{2}(b+6a-$
$2b)\cdot a=\frac {1}{2}ab+3b^{2}+3a^{2}-\frac {1}{2}ab=3b^{2}+3a^{2}$.
(2)$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=7^{2}-2×\frac {25}{2}=49-25=24$,
$\therefore KT$板模型的总面积为$3b^{2}+3a^{2}=3(a^{2}+b^{2})=3×$
$24=72.$

19 换元法 阅读下列材料：
已知实数m,n满足$(2m^{2}+n^{2}+1)(2m^{2}+n^{2}-1)= 80$,试求$2m^{2}+n^{2}$的值.
解:设$2m^{2}+n^{2}= t$,则原方程变为$(t+1)(t-1)= 80$,整理,得$t^{2}-1= 80,t^{2}= 81,\therefore t= \pm 9.$
$\because 2m^{2}+n^{2}\geq 0,\therefore 2m^{2}+n^{2}= 9.$
上面这种方法称为"换元法",换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
(1)已知实数x,y满足$(2x^{2}+2y^{2}+3)\cdot (2x^{2}+2y^{2}-3)= 27$,求$x^{2}+y^{2}$的值;
(2)在(1)的条件下,若$xy= 1$,求$(x+y)^{2}和x-y$的值.

答案：
(1)设$2x^{2}+2y^{2}=t$,则原方程变形为$(t+3)(t-3)=27$,整理,得$t^{2}-9=27,\therefore t^{2}=36$,解得$t=\pm 6$.
$\because 2x^{2}+2y^{2}≥0,\therefore 2x^{2}+2y^{2}=6,\therefore x^{2}+y^{2}=3$.
(2)$\because x^{2}+y^{2}=3,xy=1,\therefore (x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=3+$
$2=5,(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy=3-2=1,\therefore x-y=\pm 1$.