《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

7 如图,在△ABC 中,AB= BC,∠C= 60°,AD 是边 BC 上的高,DE//AC,图中与 BD(BD 除外)相等的线段共有( ).

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

答案： D

8 如图,在等边三角形 ABC 中,D,E 分别在 AB,BC 边上,且 AD= BE,AE 与 CD 交于点 F,AG⊥CD 于点 G.下列结论:①AE= CD;②∠AFC= 120°;③△ADF 是等边三角形;④AF= 2FG.其中结论正确的是______(填序号).

答案： ①②④

9 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D 在边 BC 上,过点 D 作 DE//AB 交 AC 于点 E,过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F.
(1)求∠F 的度数;
(2)求证:CD= CF.

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°.
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°.
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°.
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°，
∴∠EDC=∠ECD=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE=CD.
∵∠ECD=∠F+∠CEF，∠F=30°，
∴∠CEF=∠F=30°，
∴EC=CF，
∴CD=CF.

10中考常考法 几何动点问题 动点问题是数学学习中常见的问题,解决此类问题的关键是动中求静,运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题.如图,在等边三角形 ABC 中,BC= 6 cm,点 P在线段 BA 上从点 B出发向点 A运动(点 P不与点 A重合),点 P运动的速度为2 cm/s;点 Q在线段 CB上从点 C出发向点 B运动(点 Q不与点 B重合),点 Q运动 的速度为3 cm/s,设点 P,Q同时运动,运动时间为 t s.
(1)在点 P,Q运动过程中,经过几秒时△PBQ为等边三角形?
(2)在点 P,Q运动过程中,若某时刻△PBQ为直角三角形,求此时 t 的值.

答案：
(1)
∵点P运动的速度为2 cm/s，点Q运动的速度为3 cm/s，
∴BP=2t cm，BQ=(6-3t)cm.
∵∠B=60°，
∴当PB=BQ时，△PBQ是等边三角形，
∴2t=6-3t，解得t=1.2.
∴在点P，Q运动过程中，经过1.2 s时△PBQ为等边三角形.
(2)①当∠BPQ=90°时，如图
(1).
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴PB=$\frac{1}{2}$BQ，
∴2t=$\frac{1}{2}$(6-3t)，
∴t=$\frac{6}{7}$.
②当∠BQP=90°时，如图
(2)，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=$\frac{1}{2}$PB，
∴6-3t=$\frac{1}{2}$×2t，
∴t=$\frac{3}{2}$.综上所述，在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，t=$\frac{6}{7}$或t=$\frac{3}{2}$.

11 (2024·福建龙岩连城期中)如图,点 O 是等边三角形 ABC内一点,D 是△ABC外的一点,∠AOB= 110°,∠OCD= 60°,∠BOC= α,△BOC≌△ADC,连接 OD.
(1)求证:△ OCD是的等边三角形.
(2)当 α= 150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由.
(3)探究:当 α为多少度时,△AOD等腰三角形?

答案：
(1)
∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°.
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°.
∴△AOD是直角三角形.
(3)
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°；②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°；③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，
∴α=110°.综上所述，当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.