《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

9 如图,在△ABC 中,AB= AC,D 是 BC 的中点,AC 的垂直平分线分别交 AC,AD,AB 于点 E,O,F,则图中全等三角形的对数是______.

答案： 4

10 (2025·河北石家庄平山外国语中学期中)写出下列各命题的逆命题,并判断原命题和逆命题是不是互逆定理.
(1)同位角相等；
(2)全等三角形的对应角相等.

答案：
(1)逆命题:如果两个角相等，那么这两个角是同位角.　由于原命题及逆命题均为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理.　
(2)逆命题:如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形.　由于逆命题为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理.

11 (2025·四川南充嘉陵区期末)如图,在△ABC 中,边 BC 的垂直平分线 MN 交边 AC 于点 D,连接 BD. 若 CE= 4,△BDC 的周长为 18,求 BD 的长.

答案：
∵MN是边BC的垂直平分线，CE=4,
∴DB=DC,BC=2CE=8.
∵△BDC的周长为18,
∴DB+DC+BC=18,
∴DB+DC=18−8=10,
∴DB=DC=5.

12 如图,在△ABC 中,D 为 BC 上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,DE= DF. 求证：AD 垂直平分 EF.
合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：
学生甲：因为 DE= DF,所以点 D 在线段 EF 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 所以 AD 垂直平分 EF.
学生乙：因为 DE⊥AB,DF⊥AC,所以在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中,DE= DF,AD= AD,所以 Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),所以 AE= AF(全等三角形的对应边相等),所以点 A 在线段 EF 的垂直平分线上. 又 DE= DF,所以点 D 在线段 EF 的垂直平分线上,所以 AD 垂直平分 EF.
分析两位同学的证明过程,指出谁对谁错,并说明错误的原因.

答案： 学生乙的证明过程正确;学生甲的证明错误.学生甲在解题过程中，过点D的直线有无数条，它们不都是EF的垂直平分线，所以在上述解题过程中，仅仅由DE=DF就推得AD垂直平分EF是不正确的.　产生错误的原因是对垂直平分线的判定定理理解不透,而实际上要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线解决问题.

13 中考新考法 证明几何结论 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,点 D 为 CE 的中点,连接 AD,此时∠CAD= 24°,∠ACB= 66°. 求证：BE= AC.

答案：
如图,连接AE.　（因为EF垂直平分AB，所以可作辅助线AE，这是遇到垂直平分线时最常见的一种辅助线作法）
∵∠ACB=66°,∠DAC=24°,
∴∠ADC=180°−∠DAC−∠ACB=180°−24°−66°=90°,
∴AD⊥EC.
∵点D为CE的中点,
∴DE=DC,
∴AD是线段CE的垂直平分线,
∴AE=AC.
∵EF垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴BE=AC.