《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

16 已知算式:①$(-a)^{3}\cdot (-a)\cdot (-a)^{2}= a^{6}$;②$(-a)^{4}\cdot (-a)\cdot (-a)^{2}= -a^{7}$;③$(-a)^{3}\cdot (-a)\cdot (-a)^{2}= -a^{6}$;④$(-a)^{4}\cdot (-a)\cdot (-a)^{2}= a^{7}$.其中正确的算式是______.

答案： ①②

17 若 $8^{2a+3}\cdot 8^{b-2}= 8^{10}$,求 $2a+b$ 的值.

答案： 9

18 如果 x,y 是正整数,且 $2^{x}× 2^{y}= 32$.
(1)求满足条件的正整数 x,y 共有多少对.
(2)根据条件能否快速判断出 $2^{x-1}\cdot 2^{y+1}$ 的计算结果?

答案：
(1)
∵$2^{x}×2^{y}=2^{x+y}=32=2^{5}$,
∴$x+y=5$.
∵x,y是正整数,
∴当$x=1$时,$y=4$;当$x=2$时,$y=3$;当$x=3$时,$y=2$;当$x=4$时,$y=1$,
∴满足条件的正整数x,y共有4对.
(2)能.结果为$2^{x-1}\cdot 2^{y+1}=32$.
∵$x-1+y+1=x+y$,
∴$2^{x-1}\cdot 2^{y+1}=2^{x+y}$,
∴$2^{x-1}\cdot 2^{y+1}$的计算结果是32.

19 中考新考法 新定义问题 (2025·四川眉山洪雅期末)规定两数 a,b 之间的一种运算,记作$(a,b)$:如果 $a^{c}= b$,那么 $(a,b)= c$.例如:因为 $2^{3}= 8$,所以 $(2,8)= 3$.
(1)根据上述规定,填空:$(3,9)= _____$;
(2)令 $(2,6)= x,(2,7)= y,(2,42)= z$,试说明下列等式成立的理由.$(2,6)+(2,7)= (2,42)$.

答案：
(1)2 [解析]
∵$3^{2}=9$,
∴$(3,9)=2$.
(2)
∵$(2,6)=x$,$(2,7)=y$,$(2,42)=z$,
∴$2^{x}=6$,$2^{y}=7$,$2^{z}=42$,
∴$2^{x+y}=2^{z}$,
∴$x+y=z$,
∴$(2,6)+(2,7)=(2,42)$.

20 中考新考法 归纳一般结论 (2025·福建泉州永春三中片区期中改编)一般地,n 个相同的因数 a 相乘 $a\cdot a…\cdot \cdot a$,记为 $a^{n}$,其中 a 称为底数,n 称为指数;若已知 $2^{x}= 32$,易知 $x= 5$,若 $2^{x}= 33$,则该如何表示 x? 一般地,如果 $a^{x}= N$ ($a＞0$ 且 $a\neq1$),那么 x叫作以 a 为底 N 的对数(logarithm),记作 $x= \log_{a}N$,其中 a叫作对数 的底数,N叫作真数.如 $3^{4}= 81$,则 4叫作以3为底81的对数,记为 $\log_{3}81= 4$;故 $2^{x}= 33$中,$x= \log_{2}33$.
(1)熟悉下列表示法,并填空:
$\because 2^{1}= 2,\therefore \log_{2}2= 1$,
$\because 2^{2}= 4,\therefore \log_{2}4= 2$,
$\because 2^{3}= 8,\therefore \log_{2}8= 3$,
$\because 2^{4}= 16,\therefore \log_{2}16= _____$,
计算:$\log_{2}32= _____$;
(2)观察(1)中各个对数的真数和对数的值,我们可以发现 $\log_{2}4+\log_{2}8= _____$;(用对数表示结果)
(3)于是我们猜想:$\log_{a}M+\log_{a}N= _____$ ($a＞0$且 $a\neq1,M＞0,N＞0$).请你请根据幂的运算法则及对数的定义证明你的结论.

答案：
(1)4 5 [解析]
∵$2^{4}=16$,
∴$log_{2}16=4$.
∵$2^{5}=32$,
∴$log_{2}32=5$.
(2)$log_{2}32$ [解析]由
(1),可得$log_{2}4+log_{2}8=2+3=5=log_{2}32$.
(3)$log_{a}MN$ 证明如下:设$x=log_{a}M$,$y=log_{a}N$,则$a^{x}=M$,$a^{y}=N$,
∴$a^{x}\cdot a^{y}=MN$,即$a^{x+y}=MN$,
∴$x+y=log_{a}MN$,
∴$log_{a}M+log_{a}N=log_{a}MN$.