《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

13 下列因式分解不正确的是( ).

A.$a^{2}-ab= a(a-b)$
B.$ab^{2}-a= a(b+1)(b-1)$
C.$a^{2}-2a+4= (a-2)^{2}$
D.$(a-b)^{2}+4ab= (a+b)^{2}$

答案： C

14 把 $1-a^{2}-b^{2}-2ab$ 分解因式,正确的分组为( ).

A.$1-(a^{2}+b^{2}+2ab)$
B.$(1-a^{2})-(b^{2}-2ab)$
C.$(1-2ab)+(-a^{2}-b^{2})$
D.$(1-a^{2}-b^{2})-2ab$

答案： A

15 (2024·广西中考)如果 $a+b= 3$,$ab= 1$,那么 $a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}$ 的值为( ).

A.0
B.1
C.4
D.9

答案： D [解析]
∵a+b=3,ab=1,
∴原式=a³b+2a²b²+ab³=ab(a²+2ab+b²)=ab(a+b)²=1×3²=9.故选 D.

16 因式分解 $a^{3}+a^{2}b-ab^{2}-b^{3}$ 的结果为( ).

A.$(a-b)^{2}(a+b)$
B.$(a+b)^{2}(a-b)$
C.$ab(a+b)^{2}$
D.$ab(a-b)^{2}$

答案： B [解析]原式=(a³+a²b)-(ab²+b³)=a²(a+b)-b²(a+b)=(a+b)(a²-b²)=(a+b)²(a-b).故选 B.

17 (2025·重庆合川区期末)分解因式：$mn+2m-n-2= $______.

答案： (m-1)(n+2) [解析]原式=(mn+2m)-(n+2)=m(n+2)-(n+2)=(m-1)(n+2).

18 分解因式：
(1)(2025·上海浦东新区进才中学期末)$ab^{2}-ab+b^{2}c-bc$;
(2)(2025·上海宝山区期末)$a^{2}-b^{2}-1-2b$;
(3)(2025·上海浦东新区进才中学期末)$9x^{2}-3(2xy+3)+y^{2}$.

答案：
(1)原式=(ab²-ab)+(b²c-bc)=ab(b-1)+bc(b-1)=b(b-1)(a+c).
(2)原式=a²-(b²+1+2b)=a²-(b+1)²=(a+b+1)(a-b-1).
(3)原式=9x²-6xy-3²+y²=9x²-6xy+y²-3²=(3x-y)²-3²=(3x-y-3)(3x-y+3).

19 分组分解法 (2025·广东汕头澄海区期末)先阅读,再解决问题：
将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法.
例如：$am+an+bm+bn= (am+an)+(bm+bn)= a(m+n)+b(m+n)= (m+n)\cdot(a+b)$.
(1)分解因式：$ab-2a-2b+4$;
(2)若 $m^{2}+2mn+2n^{2}-6n+9= 0$,求 $m$ 和 $n$ 的值.

答案：
(1)ab-2a-2b+4=(ab-2a)-(2b-4)=a(b-2)-2(b-2)=(b-2)(a-2).
(2)
∵m²+2mn+2n²-6n+9=0,
∴m²+2mn+n²+n²-6n+9=0,
∴(m+n)²+(n-3)²=0,
∵平方数具有非负性
∴m+n=0,n-3=0,
∴m=-3,n=3.

20 (2025·福建漳州龙海区期中)“整体思想”在数学解题中运用广泛,下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$.
解：原式$=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1= (x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+6)+1= (x^{2}+5x)^{2}+10(x^{2}+5x)+24+1= (x^{2}+5x)^{2}+10(x^{2}+5x)+25= (x^{2}+5x+5)^{2}$.
(1)以上例题解答过程中把______当作一个整体,多项式变形后,运用______公式进行因式分解；
(2)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解: $(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+25$;
(3)拓展应用：
求证：四个连续自然数 $n$ , $n+1$ , $n+2$ , $n+3$ 的积与1 的 和等于一个奇数的平方.

答案：
(1)(x²+5x) 完全平方公式
(2)原式=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25=(x²+x-2)(x²+x-12)+25=(x²+x)²-14(x²+x)+24+25=(x²+x)²-14(x²+x)+49=(x²+x-7)².
(3)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1=(n²+3n+1)².
∵n 是自然数,
∴n(n+3)一定是偶数,
∴n²+3n=n(n+3)是偶数,
∴n²+3n+1 是奇数,
∴四个连续自然数 n,n+1,n+2,n+3 的积与 1 的和等于一个奇数的平方.