《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

1 (2025·江苏常州外国语学校期中)如图,在△ABC中,AB= AC,D 是 BC 的中点,过点 A 的直线EF//BC,且AE= AF,求证:DE= DF.

答案： 连接AD.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵EF//BC,
∴AD⊥EF.
又AE=AF,
∴AD垂直平分EF,
∴DE=DF.

变式 1.1 如图,在△ABC中,∠A= 90°,AB= AC,D 为 BC 的中点,E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 BE= AF,求证:
(1)DE= DF;
(2)DE⊥DF.

答案： 连接AD,
(1)
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC中点,
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=BD=CD,∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°,∠B=45°,
∴∠B=∠DAF.
在△BDE和△ADF中,$\begin{cases} BD=AD, \\ ∠B=∠DAF, \\ BE=AF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(SAS),
∴DE=DF.
(2)由
(1)知,△BDE≌△ADF,则∠BDE=∠ADF.
∵∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,
即∠EDF=90°,
∴DE⊥DF.

2 如图,△ABC中,AB= AC,点 P 从点 B 出发沿线段 BA 移动(点 P 不与 A,B 重合),同时,点 Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动,已知点 P,Q 移动的速度相同,PQ 与直线 BC 相交于点 D.
(1)求证:PD= QD.
(2)过点 P 作直线 BC 的垂线,垂足为 E,P,Q 在移动过程中,线段 BE,DE,CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

答案：
如图,过点P作PF//AC交BC于点F.

∵点P和点Q同时出发,且速度相同,
∴BP=CQ.
∵PF//AQ,
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠PFB,
∴BP=PF,
∴PF=CQ.
在△PFD与△QCD中,$\begin{cases} ∠PDF=∠QDC, \\ ∠DPF=∠DQC, \\ PF=QC, \end{cases}$
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴PD=QD.
(2)存在,DE是长度保持不变的线段.理由如下:
由
(1),得△PFD≌△QCD,BP=PF,
∴DF=CD,
∴FD=$\frac{1}{2}$FC.
∵PE⊥BC,
∴BE=EF,
∴EF=$\frac{1}{2}$BF,
∴ED=FD+EF=$\frac{1}{2}$FC+$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$BC,
∴ED为定值.故ED是长度保持不变的线段.

变式 2.1 如图,点 D 在等边三角形 ABC 的边 AB 上,点 F 在边 AC 上,连接 DF 并延长交 BC 的延长线于点 E.
(1)如图(1),若 FE= FD,试说明 AD= CE.
(2)如图(2),若 FE= FD,AB= 2,过点 D 作 DG⊥AC,垂足为 G,GF 的长是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

答案：
(1)过点D作DH//BC交AC于点H,
∴∠FDH=∠E,∠DHF=∠ECF.
在△DHF和△ECF中,$\begin{cases} ∠DHF=∠ECF, \\ ∠FDH=∠E, \\ DF=EF, \end{cases}$
∴△DHF≌△ECF(AAS),
∴DH=CE.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠A=60°.
∵DH//BC,
∴∠ADH=∠ABC=∠A=60°,
∴△ADH是等边三角形,
∴AD=DH,
∴AD=CE.
(2)GF的长是定值.理由如下:过点D作DH//BC交AC于点H,由
(1)知,△DHF≌△ECF,
∴FH=FC=$\frac{1}{2}$CH.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=2.
又△ADH是等边三角形,
∴AD=AH,
∴CH=BD,
∴FH=$\frac{1}{2}$BD.
∵DG⊥AC,
∴AG=HG=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$AD,
∴FG=HG+HF=$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$(AD+BD)=$\frac{1}{2}$AB=1.