《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

19 分类讨论思想 (2025·广东中山期中)在一个钝角三角形中,如果一个角是另一个角的 3 倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”. 例如,三个内角分别为 120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”. 如图,∠MON= 60°,在射线 OM 上找一点 A,过点 A 作 AB⊥OM 交 ON 于点 B,以 A 为端点作射线 AD,交射线 OB 于点 C.
(1)∠ABO 的度数为 °,△AOB (填“是”或“不是”)“智慧三角形”；
(2)若∠OAC= 20°,求证：△AOC 为“智慧三角形”；
(3)当△ABC 为“智慧三角形”时,求∠OAC 的度数.(直接写出答案)

答案：
(1)30　不是　[解析]
∵AB⊥OM,
∴∠OAB=90°.又∠MON=60°,
∴∠ABO=30°,
∴△ABO不是“智慧三角形”.　
(2)
∵∠AOC=60°,∠OAC=20°,
∴∠AOC=3∠OAC,
∴△AOC为“智慧三角形”.　
(3)①当点C在线段OB上时,　　　　(注意题干中“射线”两字)
∵∠ABO=30°,
∴∠BAC+∠BCA=150°,∠ACB＞60°,∠BAC＜90°.　(Ⅰ)当∠ABC=3∠BAC时,∠BAC=10°,
∴∠OAC=80°;　(Ⅱ)当∠ABC=3∠ACB时,∠ACB=10°,
∴此种情况不存在;　(Ⅲ)当∠BCA=3∠BAC时,
∴∠BAC+3∠BAC=150°,
∴∠BAC=37.5°,
∴∠OAC=52.5°;　(Ⅳ)当∠BCA=3∠ABC时,
∴∠BCA=90°,
∴∠BAC=60°,
∴∠OAC=90°−60°=30°(舍去，此时为直角三角形不符合题意);　(Ⅴ)当∠BAC=3∠ABC时,
∴∠BAC=90°,
∴∠OAC=0°(舍去);　(Ⅵ)当∠BAC=3∠ACB时,
∴3∠ACB+∠ACB=150°,
∴∠ACB=37.5°,
∴此种情况不存在.　②当点C在线段OB的延长线上时,
∵∠ABO=30°,
∴∠ABC=150°,
∴∠ACB+∠BAC=30°.　(Ⅰ)当∠ACB=3∠BAC时,
∴3∠BAC+∠BAC=30°,
∴∠BAC=7.5°,
∴∠OAC=90°+∠BAC=97.5°.　(Ⅱ)当∠BAC=3∠BCA时,
∴3∠BCA+∠BCA=30°,
∴∠BCA=7.5°,
∴∠BAC=3∠BCA=22.5°,
∴∠OAC=90°+22.5°=112.5°.　当△ABC为“智慧三角形”时,∠OAC的度数为80°或52.5°或97.5°或112.5°.　　归纳总结　本题属于几何综合题，涉及三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是关键.

20 中考新考法 动点问题 如图,∠MON= 90°,点 A,B 分别在直线 OM,ON 上,BC 是∠ABN 的平分线.
(1)如图(1),若 BC 所在直线交∠OAB 的平分线于点 D,尝试完成①②两题.
①当∠ABO= 40°时,∠ADB= °；当∠ABO= 70°时,∠ADB= °.
②当点 A,B 分别在射线 OM,ON 上运动时(不与点 O 重合),试问：随着点 A,B 的运动,∠ADB 的大小会变吗？如果不会,请求出∠ADB 的度数；如果会,请求出∠ADB 的度数的变化范围.
(2)如图(2),若 BC 所在直线交∠BAM 的平分线于点 C,将△ABC 沿 EF 折叠,使点 C 落在四边形 ABEF 内点 C'的位置,求∠BEC'+∠AFC'的度数.

答案：
(1)①45　45　②随着点A,B的运动,∠ADB的大小不变设∠ABO=α.
∵∠MON=90°,
∴∠BAO=90°−α,
∵AD平分∠BAO,BC平分∠ABN,
∴∠BAD=45°−$\frac{\alpha}{2}$,∠ABC=90°−$\frac{\alpha}{2}$,
∴∠ADB=∠ABC−∠BAD=45°.　
(2)
∵∠MON=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAM+∠ABN=270°.
∵BC平分∠ABN,AC平分∠BAM,
∴∠CAB+∠CBA=$\frac{1}{2}$(∠BAM+∠ABN)=135°,
∴∠C=180°−(∠CBA+∠CAB)=45°.由折叠,得∠CEF=∠C'EF,∠CFE=∠C'FC,
∴∠CEC'+∠CFC'=2(180°−∠C)=270°,
∴∠BEC'+∠AFC'=360°−(∠CEC'+∠CFC')=90°.