《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

11 新情境 密码设置 小明是一位密码翻译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息：$a-b$,$x-y$,$x+y$,$a+b$,$x^{2}-y^{2}$,$a^{2}-b^{2}$分别对应下列六个字：头、爱、我、汕、丽、美,现将$(x^{2}-y^{2})a^{2}-(x^{2}-y^{2})b^{2}$因式分解,结果呈现的密码信息可能是( ).

A.我爱美
B.汕头美
C.我爱汕头
D.汕头美丽

答案： C

12 当$m$为自然数时,$(4m+5)^{2}-9$一定能被下列哪个数整除( ).

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： D

13 将下列各式分解因式：
(1)(2025·上海华东师大二附中期中)$(x-2y)^{2}-4x^{2}$；
(2)$n^{3}(m-2)+n(2-m)$；
(3)$(4x^{2}-9y^{2})(3y-2x)+9(2x+3y)$.

答案：
(1)原式$=[(x-2y)+2x][(x-2y)-2x]=(3x-2y)(-x-2y)=-(3x-2y)(x+2y).(2)原式$=n^{3}(m-2)-n(m-2)=n(m-2)(n^{2}-1)=n(m-2)(n+1)(n-1).
(3)原式$=(2x-3y)(2x+3y)(3y-2x)+9(2x+3y)=(2x+3y)[9-(2x-3y)^{2}]=(2x+3y)(3-2x+3y)(3+2x-3y).$

14 利用因式分解进行简便计算：$\frac{1^{2}-2^{2}}{1+2}+\frac{2^{2}-3^{2}}{2+3}+…+\frac{999^{2}-1000^{2}}{999+1000}$.

答案： 原式$=\frac {(1-2)×(1+2)}{1+2}+\frac {(2-3)×(2+3)}{2+3}+…+\frac {(999-1000)×(999+1000)}{999+1000}=-1-1-... -1=-999.$

15 (2024·安徽中考)数学兴趣小组开展探究活动,研究了 “正整数 N 能否表示为$x^{2}-y^{2}$(x,y 均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下(n 为正整数)：
| N | 奇数 | 4的倍数 |
| 表示结果 | $1= 1^{2}-0^{2}$ $3= 2^{2}-1^{2}$ $5= 3^{2}-2^{2}$ $7= 4^{2}-3^{2}$ $9= 5^{2}-4^{2}$ ... | $4= 2^{2}-0^{2}$ $8= 3^{2}-1^{2}$ $12= 4^{2}-2^{2}$ $16= 5^{2}-3^{2}$ $20= 6^{2}-4^{2}$ ... |
| 一般结论 | $2n-1= n^{2}-(n-1)^{2}$ | $4n= $______ |
按上表规律,完成下列问题：
(ⅰ)$24= (\quad)^{2}-(\quad)^{2}$；
(ⅱ)$4n= $______；
(2)兴趣小组还猜测：像 2,6,10,14……这些形如$4n-2$(n 为正整数)的正整数 N 不能表示为$x^{2}-y^{2}$(x,y 均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下：
假设$4n-2= x^{2}-y^{2}$,其中 x,y 均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若 x,y 均为偶数,设$x= 2k$,$y= 2m$,其中 k,m均为自然数,则$x^{2}-y^{2}= (2k)^{2}-(2m)^{2}= 4(k^{2}-m^{2})$为 4 的倍数.而$4n-2$不是 4 的倍数,矛盾.故 x,y 不可能均为偶数.
②若 x,y 均为奇数,设$x= 2k+1$,$y= 2m+1$,其中 k,m 均为自然数,则$x^{2}-y^{2}= (2k+1)^{2}-(2m+1)^{2}= $______为 4 的倍数.而$4n-2$不是 4 的倍数,矛盾.故 x,y 不可能均为奇数.
③若 x,y 一个是奇数一个是偶数,则$x^{2}-y^{2}$为奇数.而$4n-2$是偶数,矛盾.故 x,y 不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知,猜测正确.
]

答案：
(1)(ⅰ)7 5；(ⅱ)$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$；
(2)$4(k^{2}-m^{2}+k-m)$ [解析]$(2k+1)^{2}-(2m+1)^{2}=(2k+1+2m+1)(2k+1-2m-1)=4(k^{2}-m^{2}+k-m).$