《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

7 (2024·陕西中考)如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,AD 是 BC 边上的高,E 是 BC 的中点,连接 AE,则图中的直角三角形共有( ).

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： C

8 (2024·凉山州中考)如图,在△ABC 中,∠BCD= 30°,∠ACB= 80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB 的平分线,则∠AEB 的度数是 .

答案： 100°

9 (2025·河南南阳淅川期末改编)如图所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,点 P 为线段 AD 上的一个动点,PE⊥AD 交 BC 的延长线于点 E.若∠B= 35°,∠ACB= 85°,求∠E 的度数.

解:∵∠B= 35°,∠ACB= 85°(已知),
∠BAC+∠B+∠ACB= ( ),
∴∠BAC= 180°-∠B-∠ACB( )= 180°-35°-85°( )= 60°.
∵AD 平分∠BAC( ),
∴∠BAD= ∠ =1/2∠BAC= 1/2× = (角平分线的定义),
∴∠ADB= 180°-∠B-∠BAD= 115°,
∴∠ADC= 180°-∠ADB= .
∵PE⊥AD(已知),
∴∠DPE= 90°( ).
在直角三角形 DPE 中,
∵∠PDE+∠E= 90°( ),
∴∠E= 90°-∠PDE= 90°- = .

答案： 180° 三角形内角和等于 180° 等式的性质 等量代换
已知 CAD 60° 30° 65° 垂直的定义 直角三角形的两锐角互余 65° 25°

10 (2025·四川眉山东坡区期末)如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,AD⊥BC 于点 D,BE 平分∠ABC,AD,BE 相交于点 F.
(1)若∠CAD= 36°,求∠AEF 的度数;
(2)试说明:∠AEF= ∠AFE.

答案：
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABD=∠CAD=36°.
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE= $\frac{1}{2}$∠ABC=18°，
∴∠AEF=90°-∠ABE=72°.
(2)
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD.
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠AEF=∠AFE.

11 中考新考法 新定义问题 (2025·河北邢台期中)定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足:α+2β= 90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC 是“准互余三角形”,∠C＞90°,∠B= 60°,则∠A= .
(2)如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB= 90°.
①若 AD 是∠BAC 的平分线,则△ABD 是“准互余三角形”吗?并说明理由.
②若点 E 是边 BC 上一点,△ABE 是“准互余三角形”,∠B= 24°,求∠EAC 的度数.

答案：
(1)15° [解析]
∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠B=60°，
∴∠B+2∠A=90°，
∴∠A=15°.
(2)①△ABD 是“准互余三角形”.理由如下：
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴2∠BAD+∠B=90°，
∴△ABD 是“准互余三角形”.
②
∵△ABE 是“准互余三角形”，
∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°.
∵∠ABC=24°，
∴∠EAB=42°或∠EAB=33°.
当∠EAB=42°，∠ABC=24°时，∠AEB=114°，
∴∠EAC=90°-∠ABC-∠BAE=24°；
当∠EAB=33°，∠ABC=24°时，∠AEB=123°，
∴∠EAC=90°-∠ABC-∠BAE=33°，
∴∠EAC=33°或 24°.