《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

3 已知:如图,在△ABC中,AB= AC,D 是△ABC外一点,且∠ABD= 60°,∠ACD= 60°.
求证:BD+DC= AB.

答案：
如图,延长BD到点F,使BF=BA,连接AF,CF.
∵∠ABD=60°,
∴△ABF为等边三角形,
∴AF=AB=BF=AC,∠AFB=60°,
∴∠ACF=∠AFC.
∵∠ACD=60°,
∴∠AFB=∠ACD=60°,
∴∠DFC=∠DCF,
∴DC=DF.
∴BD+DC=BD+DF=BF=AB,
即BD+DC=AB.

变式 3.1 (2024·四川凉山州期末改编)如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 30°,点 D 是△ABC内一点,DB= DC,∠DCB= 30°,点 E 是 BD 延长线上一点,AE= AB.
(1)直接写出∠ADE的度数;
(2)求证:DE= AD+DC.

答案：

(1)
∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180° - 30°}{2}$=75°.
∵DB=DC,∠DCB=30°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABD=∠ABC - ∠DBC=45°.
∵AB=AC,DB=DC,
∴AD所在直线垂直平分BC,
∴AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°,
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°.
(2)如图,在线段DE上截取DM=AD,连接AM,
∵∠ADE=60°,DM=AD,
∴△ADM是等边三角形,
∴∠ADB=∠AME=120°.
∵AE=AB,
∴∠ABD=∠E.
在△ABD和△AEM中,$\begin{cases} ∠ADB=∠AME, \\ ∠ABD=∠E, \\ AB=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△AEM(AAS),
∴BD=ME.
∵BD=CD,
∴CD=ME,
∵DE=DM+ME,
∴DE=AD+CD.

4 (2025·山东淄博桓台红莲湖学校月考)如图,AB//CD,∠1= ∠2,AD= AB+CD.
(1)求证:BE= CE;
(2)求证:AE⊥DE;
(3)求证:AE 平分∠DAB.

答案：

(1)如图,延长AB,DE交于点F.
∵AB//CD,∠1=∠2,
∴∠1=∠2=∠F,
∴AD=AF.
∵AD=AB+BF=AB+CD,
∴CD=BF.
∵∠2=∠F,∠DEC=∠FEB,
∴△DCE≌△FBE(AAS),
∴CE=BE.

(2)
∵△DCE≌△FBE,
∴DE=EF.
∵AD=AF,
∴AE⊥DE.
(3)
∵DE=EF,AD=AF,
∴AE平分∠DAF.

变式 4.1 双角分线模型 如图,AB//CD,点 E 在 BC 上,AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC.求证:
(1)EB= EC;
(2)AB+CD= AD.

答案：

(1)如图
(1),延长AE,DC交于点M.
∵AB//DC,
∴∠DAB+∠ADC=180°,∠BAE=∠CME.
∵AE,DE分别平分∠BAD,∠ADC,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADE=∠EDM,
∴∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠AED=90°=∠DEM.
在△ADE和△MDE中,$\begin{cases} ∠ADE=∠MDE, \\ DE=DE, \\ ∠AED=∠DEM, \end{cases}$
∴△ADE≌△MDE(ASA),
∴AE=ME.
在△ABE和△MCE中,$\begin{cases} ∠AEB=∠MEC, \\ AE=ME, \\ ∠BAE=∠CME, \end{cases}$
∴△ABE≌△MCE(ASA),
∴EB=EC.

(2)如图
(2),延长DE与AB的延长线交于一点F.
∵AB//CD,
∴∠CDE=∠BFE.
由
(1)知,BE=CE.
在△DCE和△FBE中,$\begin{cases} ∠CDE=∠BFE, \\ ∠DEC=∠FEB, \\ CE=BE, \end{cases}$
∴△DCE≌△FBE(AAS),
∴DC=BF,DE=FE,
∴AF=AB+BF=AB+CD.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠ADF=∠AFD,
∴AD=AF,
∴AB+CD=AD.