《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

11 (2024·兰州中考)如图,在△ABC 中,AB= AC,∠BAC= 130°,DA⊥AC,则∠ADB= ( ).

A.100°
B.115°
C.130°
D.145°

答案： B

12 (2024·云南中考)已知 AF 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的高,若点 F 到直线 AB 的距离为 3,则点 F 到直线 AC 的距离为( ).

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

答案： C

13 分类讨论思想 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 60°,则等腰三角形的底角度数为______.

答案： 75°或15°

14 如图,AB= AC,∠BAC= 120°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,那么∠ADC 的度数为多少？

答案：
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=$\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}$=30°.
∵AB的垂直平分线交BC于点D,
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠B=30°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°.

15 如图,在△ABC 中,AB= AC,AB 的垂直平分线 DE 分别交 AC,AB 于点 D,E.
(1)若∠A= 50°,求∠CBD 的度数；
(2)若 AB= 7,BC 的长为 5,求△CBD 的周长.

答案：
(1)
∵AB=AC,∠A=50°,
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°-50°)=65°.又DE垂直平分AB,
∴DA=DB,
∴∠ABD=∠A=50°,
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°.
(2)
∵DE垂直平分AB,
∴DA=DB,
∴DB+DC=DA+DC=AC.又AB=AC=7,BC=5,
∴△CBD的周长为12.

16 中考新考法 类比探究 如图(1),在△ABC 中,AB= AC,点 D 是直线 BC 上一点(不与点 B,C 重合),以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE,使 AD= AE,∠DAE= ∠BAC,连接 CE. 设∠BAC= α,∠DCE= β.
(1)求证：△DAB≌△EAC；
(2)当点 D 在线段 BC 上运动时,
①α= 50°,则 β= ______°；
②猜想 α 与 β 之间的数量关系,并对你的结论进行证明；
(3)如图(2),当点 D 在线段 BC 的反向延长线上运动时,猜想 α 与 β 之间的数量关系,并对你的结论给出证明.

答案：
(1)
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD.
∴∠CAE=∠BAD.在△DAB和△EAC中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right.$
∴△DAB≌△EAC(SAS).
全等三角形中的手拉手模型
(2)①130
②$\alpha+\beta=180^{\circ}$.证明如下:由
(1)知,△DAB≌△EAC，
∴∠ABC=∠ACE.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=$\alpha$,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$(180°-$\alpha$)=90°-$\frac{1}{2}\alpha$.
∴$\beta$=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=90°-$\frac{1}{2}\alpha$+90°-$\frac{1}{2}\alpha$=180°-$\alpha$.
∴$\alpha+\beta=180^{\circ}$.
(3)$\beta=\alpha$.证明如下:
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE.
∴∠CAE=∠BAD.在△DAB和△EAC中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right.$
∴△DAB≌△EAC(SAS).
∴∠ABD=∠ACE.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=$\alpha$,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$(180°-$\alpha$)=90°-$\frac{1}{2}\alpha$.
∴∠ACE=∠ABD=180°-∠ABC=180°-(90°-$\frac{1}{2}\alpha$)=90°+$\frac{1}{2}\alpha$.
∴$\beta$=∠ACE-∠ACB=90°+$\frac{1}{2}\alpha$-(90°-$\frac{1}{2}\alpha$)=$\alpha$.