《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

10 (2025·天津滨海新区期末)已知:如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 边上一点,点 F 是 AC 中点,过点 A 作 BC 的平行线交 DF 的延长线于点 E.
(1)求证:△AEF≌△CDF;
(2)若 AE= 4,BC= 6,求 BD 的长.

答案：
(1)
∵AE//BC,
∴∠E=∠CDF.
∵点F是AC中点,
∴AF=CF.
在△AEF和△CDF中,∠E=∠CDF,∠AFE=∠CFD,AF=CF,
∴△AEF≌△CDF(AAS).
(2)由
(1)得△AEF≌△CDF,
∴AE=CD.
∵AE=4,BC=6,
∴CD=4,
∴BD=BC−CD=6−4=2,
∴BD的长为2.
解后反思　本题涉及平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识,推导出∠E=∠CDF,AF=CF,进而证明△AEF≌△CDF是解题的关键.

11 (2025·湖南怀化六校联考期末改编)如图,在△ABC 中,AB= AC= 2,∠B= ∠C= 40°,点 D 在线段 BC 上运动(D 不与 B,C 重合),连接 AD,作∠ADE= 40°,DE 与 AC 交于点 E.
(1)当∠BDA= 115°时,∠BAD= ______°,∠DEC= ______°;当点 D 从 B 向 C 运动时,∠BDA 逐渐变______(填“大”或“小”).
(2)当 DC= AB= 2 时,△ABD 与△DCE 是否全等? 请说明理由.

答案：
(1)25　115　小　[解析]
∵∠B=40°,∠ADB=115°,
∴∠BAD=180°−40°−115°=25°.
∵∠ADE=40°,∠ADB=115°,
∴∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=180°−115°−40°=25°,
∴∠DEC=180°−40°−25°=115°.
当点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变小
(2)当DC=2时,△ABD≌△DCE,理由如下:
∵∠C=40°,
∴∠DEC+∠EDC=140°.
∵∠ADE=40°,
∴∠ADB+∠EDC=140°,
∴∠ADB=∠DEC.
在△ABD和△DCE中,∠ADB=∠DEC,∠B=∠C,AB=DC,
∴△ABD≌△DCE(AAS).

12 如图,在△ABC AH= BH,AH⊥BC 于点 H,D 为 AH 上一点,且 BD= AC,直线 BD 与 AC 交于点 E,连接 EH.
(1)求证:DH= CH;
(2)判断 BE 与 AC 的位置关系,并证明你的结论;
(3)求∠BEH 的度数.

答案：

(1)
∵AH⊥BC,
∴∠AHB=∠AHC=90°.
在Rt△BHD和Rt△AHC中,BD=AC,BH=AH,
∴Rt△BHD≌Rt△AHC(HL),
∴DH=CH.
(2)BE⊥AC;证明如下:
由
(1)可知△BHD≌△AHC,
∴∠HBD=∠HAC;
∵∠HAC+∠C=90°,
∴∠HBD+∠C=90°,
∴∠BEC=90°,
∴BE⊥AC.
(3)如图,过点H作HF⊥HE,交BE于点F,
∴∠FHE=90°,即∠AHE+∠DHF=90°.
又∠BHF+∠DHF=90°,
∴∠AHE=∠BHF.
在△AHE和△BHF中,∠HAE=∠HBF,AH=BH,∠AHE=∠BHF,
∴△AHE≌△BHF(ASA),
∴EH=FH.
∵∠FHE=90°,
∴∠BEH=45°.

13 在△ABC 和△DCE 中,CA= CB,CD= CE,∠CAB= ∠CED= α.
(1)如图(1),将 AD,EB 延长延长线相交于点 O.
①求证:BE= AD;②用含 α 的式子表示∠AOB 的度数(直接写出结果). (2)如图(2),当 α= 45°时,连接 BD,AE,作 CM⊥AE 于点 M,延长 MC 与 BD 交于点 N,求证:N 是 BD 的中点.

答案：

(1)①
∵CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=α,
∴∠ACB=180°−2α,∠DCE=180°−2α,
∴∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB,
∴∠ACD =∠BCE.
在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴BE=AD.
②
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE=α+∠BAO.
∵∠ABE=∠BOA+∠BAO,
∴∠CBE+∠ABC=∠BOA+∠BAO,
∴∠BAO+α+α=∠BOA+∠BAO,
∴∠BOA=2α.
(2)如图,过点B作BP⊥MN交MN的延长线于点P,过点D作DQ⊥MN于点Q.
∵CA=CB,∠CAB=45°,
∴∠ACB=180°−2×45°=90°.
∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC,∠BCA=∠AMC=90°,
∴∠BCP=∠CAM.
在△CBP和△ACM中,∠CPB=∠AMC,∠BCP=∠CAM,CB=AC,
∴△CBP≌△ACM(AAS),
∴MC=BP.
同理可证CM=DQ,
∴DQ=BP.
在△BPN和△DQN中,∠BNP=∠DNQ,∠BPN=∠DQN,BP=DQ,
∴△BPN≌△DQN(AAS),
∴BN=ND,
∴N是BD的中点.