《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

14 把$\frac{-1}{3a+6}$,$\frac{2}{a^{2}+2a+1}$,$\frac{a}{a^{2}+3a+2}$通分后,各分式的分子之和为______.

答案： $2a^{2}+7a+11$

15 已知$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}= 2$,求$\frac{2a+ab-2b}{a-ab-b}$的值.

答案： $\because \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2,\therefore \frac{b-a}{ab}=2,\therefore b-a=2ab$,即$a-b=-2ab$,
$\therefore$原式$=\frac{2(a-b)+ab}{(a-b)-ab}=\frac{-4ab+ab}{-2ab-ab}=\frac{-3ab}{-3ab}=1$.

16 若分式$\frac{3a-9}{a^{2}-a-6}$的值恒为正数,求$a$的取值范围.

答案： $a＞-2$且$a≠3$.

17 新情境 数学与生活融合 某单位欲购买$x件白衬衣和y$件蓝衬衣,但衬衣运来之后,却发现有白衬衣$y$件,蓝衬衣$x$件,经查对是订单填错了.已知每件白衬衣的价格是每件蓝衬衣价格的$\frac{3}{2}$倍,请用分式表示出按原来的设想需要的钱数与实际购买衬衣应付的钱数的比.(结果化成最简分式)

答案： $\frac{3x+2y}{2x+3y}$

18 中考新考法 解题方法型阅读理解题 在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的.
例：若$\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{4}$,求$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值.
解：$\because\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{4}$,$\therefore\frac{x^{2}+1}{x}= 4$,即$\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}= 4$,$\therefore x+\frac{1}{x}= 4$,$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}-2= 16-2= 14$.
材料二：在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数“$k$”,将连等式变成几个值为$k$的等式,这样就可以通过适当变形解决问题.
例：若$2x= 3y= 4z$,且$xyz\neq0$,求$\frac{x}{y+z}$的值.
解：令$2x= 3y= 4z= k(k\neq0)$,则$x= \frac{k}{2}$,$y= \frac{k}{3}$,$z= \frac{k}{4}$,$\therefore\frac{x}{y+z}= \frac{\frac{1}{2}k}{\frac{1}{3}k+\frac{1}{4}k}= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}= \frac{6}{7}$.
根据材料回答下列问题：
(1)已知$\frac{x}{x^{2}-x+1}= \frac{1}{4}$,求$x+\frac{1}{x}$的值；
(2)已知$\frac{a}{5}= \frac{b}{4}= \frac{c}{3}(abc\neq0)$,求$\frac{3b+4c}{2a}$的值；
(3)已知$x$,$y$,$z$为实数,$\frac{xy}{x+y}= -2$,$\frac{yz}{y+z}= \frac{4}{3}$,$\frac{zx}{z+x}= -\frac{4}{3}$,求分式$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值.

答案：
(1)$\because \frac{x}{x^{2}-x+1}=\frac{1}{4},\therefore \frac{x^{2}-x+1}{x}=4$,
$\therefore x-1+\frac{1}{x}=4,\therefore x+\frac{1}{x}=5$.
(2)设$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=k(k≠0)$,则$a=5k,b=4k,c=3k$,
$\therefore \frac{3b+4c}{2a}=\frac{12k+12k}{10k}=\frac{12}{5}$.
(3)$\because \frac{xy}{x+y}=-2,\therefore \frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{2},\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}$.
同理,得$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4},\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{3}{4}$,
$\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{4}$,
$\therefore \frac{xy+yz+xz}{xyz}=-\frac{1}{4},\therefore \frac{xyz}{xy+yz+zx}=-4$.