《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

9 如图,在 Rt$\triangle ABC$中,CD 是斜边 AB 上的高,$\angle CAB$的平分线 AE 交 CD 于点 H,EF$\perp$AB 于点 F,则下列结论中不正确的是( ).

A.$\angle ACD= \angle B$
B.CH= CE= EF
C.CH= HD
D.AC= AF

答案： C

10 (2023·丽水中考)如图,在$\triangle ABC$中,AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,$\angle B= \angle ADB$.若 AB= 4,则 DC 的长是______.

答案： 4

11 (2024·重庆中考)如图,在$\triangle ABC$中,AB= AC,$\angle A= 36^\circ$,BD 平分$\angle ABC$交 AC 于点 D.若 BC= 2,则 AD 的长度为______.

答案： 2　[解析]
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，
∴∠BDC=180°−∠C−∠CBD=180°−72°−36°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC=2.
∵∠A=36°，∠ABD=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=2.

12 如图,在$\triangle ABC$中,AB= AC,E 为边 AC 上一点,ED$\perp$BC,垂足为 D,交 BA 的延长线于点 F.求证：$\triangle AEF$是等腰三角形.

答案：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵ED⊥BC，
∴∠B+∠F=90°，∠C+∠CED=90°.
∴∠F=∠CED.
∵∠CED=∠AEF，
∴∠F=∠AEF.
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形.

13 如图,在$\triangle ABC$中,AB= AC,$\angle BAC= 36^\circ$,CD 是$\angle ACB$的平分线,交 AB 于点 D.
(1)求$\angle ADC$的度数.
(2)过点 A 作 AE$//$BC,交 CD 的延长线于点 E.
①求证：$\triangle ADE$是等腰三角形；
②判断：$\triangle ACE$是否是等腰三角形？请先写出结论,再说明理由.

答案：
(1)
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−36°)=72°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°.
∴∠ADC=∠B+∠DCB=72°+36°=108°.
(2)①
∵AE//BC，
∴∠EAB=∠B=72°.
∵∠ADC=108°，
∴∠ADE=72°.
∴∠EAD=∠ADE.
∴AE=DE.
∴△ADE是等腰三角形.
②△ACE是等腰三角形.理由如下:
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCE=∠ACE.
∵AE//BC，
∴∠BCE=∠E.
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC.
∴△ACE是等腰三角形

14 手拉手模型 (1)如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,AB= AC,AD= AE,$\angle BAC= \angle DAE= 90^\circ$,点 D,B,C 在同一条直线上,AH$\perp$BC 于点 H.
①求证：AH= $\frac{1}{2}$BC；
②求$\angle DCE$的度数.
(2)在$\triangle MNQ$中,MN= MQ,$\angle NMQ= 90^\circ$,在平面内有一点 P,满足 PQ= 3,PN= 7,$\angle NPQ= 90^\circ$,请直接写出点 M 到 NP 的距离.

答案：
(1)①
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°.
∵AH⊥BC，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，∠AHB=90°.
∴∠BAH=180°−∠AHB−∠ABC=45°.
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$BC.
②
∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC.又AD=AE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS).
手拉手模型
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABD=135°.
∴∠DCE=∠ACE−∠ACB=90°.
(2)如图
(1)，过点M作MH⊥NP于点H，连接MP，作∠PMD=90°，交NP于点D.
由
(1)可得，ND=PQ=3，
∴DP=4，
∴MH=$\frac{1}{2}$DP=2;
如图
(2)，过点M作MH⊥NP于点H，作∠PMD=90°，交PN的延长线于点D，
∴∠NMQ=∠DMP=90°.
∴∠NMD=∠QMP.
∵∠NMQ=90°，∠NPQ=90°，
∴∠MQP+∠MNP=180°.
∴∠MQP=∠MND.又MN=MQ，
∴△MPQ≌△MDN(ASA).
∴ND=QP=3，MP=MD，
∴DP=NP+ND=7+3=10，△MDP为等腰三角形.
∵MH⊥DP，
∴MH=$\frac{1}{2}$DP=5.
等腰三角形三线合一
综上所述，点M到NP的距离为2或5.