《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

14 换元法 (2025·福建福州仓山区期中)根据完全平方公式$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2,(a-b)^2= a^2-2ab+b^2,$我们可以得出下列结论：$ab= 1/2[(a+b)^2-(a^2+b^2)]①,(a-b)^2= (a+b)^2-4ab②.$
利用公式①和②解决下列问题：
已知m满足$(3m-2025)^2+(2024-3m)^2= 5,$
(1)求(3m-2025)(2024-3m)的值；
(2)求$(6m-4049)^2$的值.

答案： 14.设3m-2025=a,2024-3m=b.
(1)
∵(3m-2025)²+(2024-3m)²=5,
∴a²+b²=5,a+b=-1,
∴ab=$\frac{1}{2}$[(a+b)²-(a²+b²)]=$\frac{1}{2}$[(-1)²-5]=-2,
∴(3m-2025)(2024-3m)=-2；
(2)a-b=6m-4049.
∵a²+b²=5,ab=-2,
∴(a-b)²=a²+b²-2ab=5-2×(-2)=5+4=9,
∴(6m-4049)²=9.

15 [发现]两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
[验证]如$,(2+1)^2+(2-1)^2= 10$为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
[探究]设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.

答案： 15.[验证]10的一半为5,5=1+4=1²+2²；[探究](m+n)²+(m-n)²=m²+2mn+n²+m²-2mn+n²=2m²+2n²=2(m²+n²).故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

16 中考新考法 规律探究 阅读下面材料,并完成相应的任务.
速算与代数推理：
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算,它有很强的技巧性.观察下列各式：
$15^2= 1×(1+1)×100+25= 225；$
$25^2= 2×(2+1)×100+25= 625；$
$35^2= 3×(3+1)×100+25= 1225；$
…
我们发现如下速算规律：十位数字是a(a是1至9的整数),个位数字是5的两位数平方的结果是100a(a+1)+25.我们可以用所学知识证明这个结论.这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理.
任务：
(1)请根据上述规律计算：$75^2= ______；$$95^2= ______；$
(2)请证明上述阅读材料中的结论.

答案： 16.
(1)5625 9025 [解析]75²=7×(7+1)×100+25=5625,95²=9×(9+1)×100+25=9025；
(2)十位数字是a(a是1至9的整数),个位数字是5的两位数是10a+5,则左边=(10a+5)²=100a²+2×10a×5+25=100a²+100a+25,右边=100a(a+1)+25=100a²+100a+25,左边=右边,
∴(10a+5)²=100a(a+1)+25成立.