《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

18 新情境 构建模型 如图(1),为测量池塘宽度AB,可在池塘外的空地上取任意一点O,连接AO,BO,并分别延长至点C,D,使OC= OA,OD= OB,连接CD.
(1)求证：AB= CD；
(2)如图(2),受地形条件的影响,于是采取以下措施：延长AO至点C,使OC= OA,过点C作AB的平行线CE,延长BO至点F,连接EF,若测得∠CEF= 140°,∠OFE= 110°,CE= 11 m,EF= 10 m,请直接写出池塘宽度AB.
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答案：
(1)在△ABO和△CDO中，{OA=OC,∠BOA=∠DOC,OB=OD,
∴△ABO≌△CDO(SAS),
∴AB=CD.
(2)AB=21m.理由如下:如图，延长OF,CE交于点G.
∵∠CEF=140°,∠OFE=110°,
∴∠FEG=40°,∠EFG=70°,
∴∠G=180°−40°−70°=70°,
∴EF=EG.
∵CE=11m,EF=10m,
∴CG=CE+EG=CE+EF=11+10=21(m).
∵CG//AB,
∴∠A=∠C.在△ABO和△CGO中，{∠A=∠C,OA=OC,∠AOB=∠COG,
∴△ABO≌△CGO(ASA),
∴AB=CG=21m.

19 中考新考法 类比探究 如图(1),在△ABC中,∠ACB为锐角. 点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,AD= AE,∠DAE= 90°. 解答下列问题：
(1)如果AB= AC,∠BAC= 90°.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图(2),线段CE,BD之间的位置关系为 ,数量关系为 .(不用证明)
②当点D在线段BC的延长线上时,如图(3),①中的结论是否仍然成立,为什么？
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动(与点B不重合).
试探究：当△ABC满足一个什么条件时,CE⊥BD(点C,E重合除外)？画出相应的图形,并说明理由.
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答案：
(1)①CE⊥BD　CE=BD ②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论仍然成立,为什么？
∵∠DAE=90°,∠BAC=90°,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAB=∠EAC.
∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴CE=BD,∠ACE=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=45°,
∴∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD.
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动(与点B不重合).试探究：当△ABC满足一个什么条件时,CE⊥BD(点C,E重合除外)？画出相应的图形,并说明理由.当∠BCA=45°时,CE⊥BD.理由如下:过点A作AG⊥AC交直线BC于点G.
∴AC=AG,∠AGC=45°,
∴△ACG是等腰直角三角形.
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC,
∴∠GAD=∠CAE.
∵DA=EA,
∴△GAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠AGD=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD.