《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

1 如图,在正方形网格中有 M,N 两点,在直线 l 上求一点 P 使PM+PN 最短,则点 P 应选在( ).

A.A 点
B.B 点
C.C 点
D.D 点

答案： C

2 如图,等边三角形 ABC 的边长为 4,AD 是 BC 边上的中线,F 是线段 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点.若 AE= 2,当 EF+CF 取得最小值时,∠ECF 的度数为( ).

A.30°
B.45°
C.25°
D.20°

答案： A

3 转化思想 如图,在△ABC 中,已知 AB= AC,AD 是边 BC 上的中线,E 是边 AB 上一动点,P 是 AD 上的一个动点.
(1)若∠BAD= 37°,求∠ACB 的度数;
(2)若 BC= 6,AD= 4,AB= 5,且 CE⊥AB 时,求 CE 的长;
(3)在(2)的条件下,请直接写出 BP+EP 的最小值.
精题详解

答案：

(1)
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,
∵AD是BC边上的中线,
∴∠ADB=90°,
∵∠BAD=37°,
∴∠ABC=53°,
∴∠ACB=53°.
(2)
∵CE⊥AB,
∴$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$AB·CE,
∵BC=6,AD=4,AB=5,
∴CE=$\frac{24}{5}$.
(3)连接PC.

∵AD垂直平分线段BC,
∴PB=PC.
∴PB+PE=PE+PC≥CE,
∴PE+PB的最小值为$\frac{24}{5}$.

4 如图,点 D 是∠FAB 内的定点且 AD= 2,若点 C,E 分别是射线 AF,AB 上异于点 A 的动点,当△CDE 周长的最小值是 2 时,∠FAB 的度数是( ).

A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

答案：
A [解析]如图,分别作点D分别关于AF,AB的对称点G,H,连接GH分别交AF,AB于C',E',连接DG,DH,AG,AH,DC',DE',此时△CDE周长最小为DC'+DE'+C'E'=GH=2.根据轴对称的性质,得AG=AD=AH=2,∠DAF=∠GAF,∠DAB=∠HAB,
∴AG=AH=GH=2,
∴△AGH是等边三角形,
∴∠GAH=60°,
∴∠FAB=$\frac{1}{2}$∠GAH=30°.故选A.

5 如图,已知∠AOB= 25°,点 M,N 分别是边 OA,OB 上的定点,点 P,Q 分别是边 OB,OA 上的动点,记∠MPQ= α,∠PQN= β,当 MP+PQ+QN 最小时,则 α 与 β 的数量关系为______.

答案：
β−α=50° [解析]如图,作M关于OB的对称点M',N关于OA的对称点N',连接M'N'交OA于Q,交OB于P,则MP+PQ+QN最小.

∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ,∠OQP=∠AQN'=∠AQN,
∴∠QPN=$\frac{1}{2}$(180°−α)=∠AOB+∠MQP,∠MQP=$\frac{1}{2}$(180°−β),
∴180°−α=50°+(180°−β),
∴β−α=50°.

6 已知:如图,在△ABC 中,AB= AC,∠A= 45°,E 是 AC 上的一点,∠ABE= 1/3∠ABC,过点 C 作 CD⊥AB 于 D,交 BE 于点 P.
(1)直接写出图中除△ABC 以外的所有等腰三角形;
(2)求证:BD= 1/2PC;
(3)点 H,G 分别为 AC,BC 边上的动点,当△DHG 周长取最小值时,求∠HDG 的度数.

精题详解

答案：

(1)△ADC,△CPE,△BCE都是等腰三角形.理由如下:
∵AB=AC,∠A=45°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−45°)=67.5°.
∵∠ABE=$\frac{1}{3}$∠ABC,
∴∠ABE=22.5°,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∴∠ACD=90°−∠A=45°.
∴∠A=∠ACD=45°.
∴DA=DC.
∴△ADC是等腰三角形.
∵∠CPE=∠BPD=90°−∠ABE=67.5°,∠CEP=∠A+∠ABE=67.5°.
∴∠CPE=∠CEP=67.5°.
∴CP=CE.
∴△CPE是等腰三角形.
∵∠CEP=∠ACB=67.5°,
∴BE=BC.
∴△BCE是等腰三角形.
(2)如图
(1),在线段DA上取一点Q,使得DQ=DB,连接CQ.

∵CD⊥BQ,DB=DQ,
∴CB=CQ,∠CBQ=∠CQB=67.5°.
∵∠BCE=∠CEB=67.5°,
∴∠CBQ=∠CQB=∠BCE=∠BEC=67.5°.
∵BC=CB,
∴△BCQ≌△CBE (AAS).
∴BQ=EC.
∴BD=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$PC.
(3)如图
(2),作点D关于BC的对称点M,作点D关于AC 的对称点F,连接FM交BC于点G,交AC于点H,连接DG,DH，此时△DGH的周长最小.
∵DM⊥CB,
∴∠CDM=90°−∠BCD=90°−22.5°=67.5°.
∵DA=DC,DF⊥AC,
∴∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDA=45°.
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°;
∴∠M+∠F=180°−112.5°=67.5°.
∵GD=GM,HF=HD,
∴∠M=∠GDM,∠F=∠HDF.
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M,∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F,
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=2×67.5°=135°.
∴∠GDH=180°−∠DGH−∠DHG =45°.