《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

13 (2024·威海中考)因式分解：$(x+2)(x+4)+1= $______.

答案： $(x+3)^2$

14 分解因式：
(1)$2(x-\frac{1}{2})-x^{2}$；
(2)(2025·山东淄博桓台期末)$\frac{1}{4}+(x+1)(x+2)$；
(3)(2025·上海外国语大学附中期中)$x^{2}-4y^{2}-2x+1$；
(4)(2025·上海延安初级中学期末)$2ab^{2}-12ab+18a$.

答案：
(1)原式$=2x-1-x^2=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2$.
(2)原式$=x^2+3x+2+\frac{1}{4}=x^2+3x+\frac{9}{4}=(x+\frac{3}{2})^2$.
(3)原式$=x^2-2x+1-4y^2=(x-1)^2-4y^2=(x-1-2y)(x-1+2y)$.
(4)原式$=2a(b^2-6b+9)=2a(b-3)^2$.

15 整体思想 先阅读下列材料,再解答下列问题：
材料：因式分解：$(x+y)^{2}+2(x+y)+1$.
解：将“$x+y$”看成整体,设$x+y= m$,则原式$=m^{2}+2m+1= (m+1)^{2}$,再将$x+y= m$代入,得原式$=(x+y+1)^{2}$.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.
请你完成下列各题：
(1)因式分解：$1-2(x-y)+(x-y)^{2}$；
(2)因式分解：$(y^{2}-6y)(y^{2}-6y+18)+81$.

答案：
(1)设$x-y=m$,则原式$=1-2m+m^2=(1-m)^2$,把$x-y=m$代入,原式$=[1-(x-y)]^2=(1-x+y)^2$.
(2)设$y^2-6y=s$,则原式$=s(s+18)+81=s^2+18s+81=(s+9)^2$,把$y^2-6y=s$代入,原式$=(y^2-6y+9)^2=[(y-3)^2]^2=(y-3)^4$.

16 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下列材料,然后解答问题.
问题：分解因式：$x^{3}+4x^{2}-5$.
解答：把$x= 1代入多项式x^{3}+4x^{2}-5$,发现此多项式的值为 0,由此确定多项式$x^{3}+4x^{2}-5中有因式x-1$,于是可设$x^{3}+4x^{2}-5= (x-1)\cdot (x^{2}+mx+n)$,分别求出 m,n 的值,再代入$x^{3}+4x^{2}-5= (x-1)\cdot (x^{2}+mx+n)$,就容易分解多项式$x^{3}+4x^{2}-5$,这种分解因式的方法叫做“试根法”.
(1)求上述式子中 m,n 的值；
(2)请你用“试根法”分解因式：$x^{3}+x^{2}-9x-9$.

答案：
(1)
∵$x^3+4x^2-5=(x-1)(x^2+mx+n)=x^3+(m-1)x^2+(n-m)x-n$,
∴$m-1=4,n-m=0,n=5$.
∴$m=5,n=5$.
(2)
∵把$x=-1$代入$x^3+x^2-9x-9$,多项式的值为 0,
∴多项式$x^3+x^2-9x-9$中有因式$x+1$.于是可设$x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2+px+q)=x^3+(p+1)x^2+(q+p)x+q$,
∴$p+1=1,q+p=-9,q=-9$.
∴$p=0,q=-9$.
∴$x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2-9)=(x+1)(x+3)(x-3)$.