《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

9 如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B= ______°.

答案： 30

10 (2024·山东泰安东平期末)如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,点D,E在BC上,且AE= BE.
(1)求∠CAE的度数;
(2)若D为线段EC的中点,求证:△ADE是等边三角形.

答案：
(1)
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵AE=BE,
∴∠B=∠EAB,
∴∠EAB=30°,
∴∠CAE=∠BAC−∠EAB=90°,即∠CAE=90°.
(2)由
(1)知,∠CAE=90°,
∵∠C=30°,
∴∠DEA=60°.
∵D为线段EC的中点,∠CAE=90°,
∴AE=$\frac{1}{2}$CE,DE=DC,
∴AE=DE,
∴△ADE是等边三角形.

11 8字模型 如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN= AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP= NP;
(2)若AB= a,求线段PH的长(结果用含a的式子表示).

答案：

(1)如图，过点M作MQ//BC,交AC于点Q.

在等边三角形ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°,
∵MQ//BC,
∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM=QM.
∵AM=CN,
∴QM=CN.
在△QMP和△CNP中,$\left\{\begin{array}{l} ∠QPM=∠CPN,\\ ∠QMP=∠N,\\ QM=CN,\end{array}\right.$
∴△QMP≌△CNP(AAS),
∴MP=NP.
(2)
∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,
∴AH=HQ.
∵△QMP≌△CNP,
∴QP=CP,
∴PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AC.
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=AB=a,
∴PH=$\frac{1}{2}$a.

12 如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,∠C= 30°,AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC,交AD于点E,交AC于点F.
(1)求证:△AEF是等边三角形;
(2)求证:BE= EF.

答案：
(1)
∵∠BAC=90°,∠C=30°,
∴∠ABC=60°.
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF=30°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠AEF=∠BED=90°−∠CBF=60°.
∵∠AFB=90°−∠ABF=60°,
∴∠EAF=∠AFE=∠AEF=60°,
∴△AEF是等边三角形.
(2)
∵∠ADB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAE=∠ABF=30°,
∴AE=BE.由
(1)知△AEF是等边三角形,
∴AE=EF,
∴BE=EF.

13 中考新考法 类比探究 [数学理解]
(1)如图(1),在等边三角形ABC内,作DB= DC,且∠BDC= 80°,E是△DBC内一点,且∠CBE= 10°,BE= BD,求∠BCE的度数;
[联系拓展]联系图(1)特点,解决下列问题.
(2)如图(2),在△DBC中,DB= DC,∠BDC= 80°,E是△DBC内一点,且∠CBE= 10°,∠BCE= 30°,连接DE,求∠CDE的度数.

答案：

(1)如图
(1),连接AD.
∵AB=AC,DB=DC,
∴直线AD是线段BC的垂直平分线,
∴AD平分∠BAC.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠BAD=30°.
∵∠BDC=80°,
∴∠DBC=50°,
∴∠ABD=60°−50°=10°=∠CBE.又AB=BC,BE=BD,
∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴∠BCE=∠BAD=30°.
(2)如图
(2),作等边三角形ABC,连接AD,由
(1)知∠BAD=∠BCE=30°,∠ABD=∠CBE=10°,
∴△ABD≌△CBE(AAS),
∴BD=BE.
∵∠DBE=60°−10°−10°=40°,
∴∠BDE=70°,
∴∠CDE=∠BDC−∠BDE=80°−70°=10°.