《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

变式3.1 如图,在△ACD中,∠CAD= 90°,AC= 6,AD= 10,AB//CD,点F为AD中点,连接BF并延长交CD于点E,则图中阴影部分的面积为______.

答案： 30

变式3.2 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,连接DE,EC,试说明S△DEC= S△ADE+S△EBC.

答案：
如图,延长DE交CB的延长线于点F.

∵E是AB的中点,
∴AE=BE.
∵AD//BC,
∴∠ADE=∠BFE.
在△DAE与△FBE中，∠ADE=∠BFE，
∠AED=∠BEF，
AE=BE，
∴△DAE≌△FBE(AAS)，
∴DE=FE,S△DAE=S△FBE,
∴E是DF中点，
∴S△DEC=S△FEC=S△FBE+S△EBC=S△ADE+S△EBC.

4 如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP于点P,连接PC,若△ABC的面积为$2cm^2,$则△PBC的面积为( ).
$A. 0.8cm^2 B. 1cm^2 C. 1.2cm^2 D. $不能确定

答案： B [解析]延长AP交BC于点E.
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠EBP.
∵AP⊥BP,
∴∠BPA=∠BPE.
在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBP，
BP=BP，
∠BPA=∠BPE，
∴△ABP≌△EBP(ASA),
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP,
∴S△PBC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×2=1(cm²).故选B.

变式4.1 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,CD⊥AD,AC-AB= 5,若S△BDC的最大值为30,则BC的长为______.

答案：
24 [解析]如图,延长AB,CD交于点E.

∵AD是∠BAC的平分线，
CD⊥AD,
∴由雨伞模型的结论,知DE=DC,AE=AC，
∴S△BEC=2S△BDC.
∵S△BDC的最大值为30，
∴S△BEC的最大值为60.当BE⊥BC时,△BEC的面积有最大值.
∵AC - AB=5,
∴AE - AB=5,
∴BE=5，
∴$\frac{1}{2}$BC·BE=60,
∴BC=24.

5 如图,在四边形ABCD中,AB= AD,∠BAD+∠BCD= 180°,点E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF= 1/2∠BAD.求证:
(1)EF= BE+DF;
(2)EA是∠BEF的平分线,FA是∠DFE的平分线.

答案：

(1)如图,延长FD至点G,使DG=BE.
∵∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠B+∠ADC=180°.
∵∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG.
又AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=∠GAF.
∵AF=AF,AE=AG，

∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE.
(2)由△AEF≌△AGF和△ABE≌△ADG,得∠AEF=∠G=∠AEB,∠AFE=∠AFG，
即EA是∠BEF的平分线,FA是∠DFE的平分线.

变式5.1 如图,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC= ∠BDC= 90°,CD= 2,AB= AC,BD= 3,点M,N分别在BD,CD上,∠MAN= 45°,则△DMN的周长为______.

答案： 5

变式5.2 如图,在四边形ABCD中,BC= CD,∠B= ∠D= 90°,∠C= 126°,在边BC和CD上分别有一点E和点F,使△ECF的周长恰好是BC长的2倍,求此时∠FAE的度数.

答案：
如图,连接AC,延长CD至点G,使DG=BE,连接AG.

在Rt△ACB和Rt△ACD中，AC=AC，
BC=CD，
∴Rt△ACB≌Rt△ACD(HL),
∴AB=AD.
∵∠ADC=90°,
∴∠ADG=90°.
在△ABE和△ADG中，AB=AD，
∠B=∠ADG，
BE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG.
∵△ECF的周长恰好是BC长的2倍，
∴EF+CE+CF=2BC,
∴EF=CD+BC - CE - CF=CD+BE - CF=CD+DG - CF=DF+DG=FG.
在△AEF和△AGF中，AF=AF，
EF=FG，
AE=AG，
∴△AEF≌△AGF(SSS),
∴∠EAF=∠GAF.
∵∠GAF=∠DAF+∠GAD=∠DAF+∠BAE，
∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∵∠B=∠ADF=90°,∠BCD=126°，
∴∠BAD=360° - 90° - 90° - 126°=54°，
∴∠FAE=27°.