《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

1 (1)已知 $3^m = 6$,$9^n = 2$,求 $3^{2m - 4n}$ 的值;
(2)若 $n$ 为正整数,且 $x^{2n} = 7$,求 $(3x^{3n})^2 - 13(x^2)^{2n}$ 的值.

答案： 1.
(1)
∵3^m=6,9^n=2,
∴$3^(2m)=(3^m)^2=36,3^(4n)=(3^(2n))^2=(9^n)^2=4,$
∴3^(2m-4n)=3^(2m)÷3^(4n)=36÷4=9.
(2)原式$=9x^(6n)-13x^(4n)=9(x^(2n))^3-13(x^(2n))^2=9×7^3-13×7^2=2450.$

2 分类讨论思想 小明学习了“幂的运算”后做这样一道题:若 $(2x - 3)^{x + 3} = 1$,求 $x$ 的值,他解出来的结果为 $x = 2$,老师说小明考虑问题不全面,聪明的你能帮助小明解决这个问题吗? 小明解答过程如下:
解:因为 1 的任何次幂都为 1,所以 $2x - 3 = 1$,$x = 2$,且 $2 + 3 = 5$.故 $(2x - 3)^{x + 3} = (2×2 - 3)^{2 + 3} = 1^5 = 1$,所以 $x = 2$.
你的解答是：

答案： 2.①
∵1的任何次幂都为1,
∴2x-3=1,解得x=2.且2+3=5,
∴$(2x-3)^(x+3)=(2×2-3)^(2+3)=1^5=1,$
∴x=2.②
∵-1的任何偶数次幂也都是1,
∴2x-3=-1,且x+3为偶数,解得x=1.③
∵任何不是0的数的0次幂也是1,
∴x+3=0,2x-3≠0,解得x=-3.综上,x=2或1或-3.

3 已知 $2^x = 3$,$2^y = 4$,$2^z = 12$,则 $x,y,z$ 之间有何数量关系?

答案： 3.
∵2^x×2^y=2^(x+y)=3×4=12,2^z=12,
∴2^(x+y)=2^z,
∴x+y=z.

4 已知 $a^m = 4$,$a^n = 2$,$a^p = 16$,试说明:$3m + 2n = 2p$.

答案： 4.
∵$(a^m)^3·(a^n)^2=4^3×2^2=2^8,(a^p)^2=16^2=2^8,$
∴$(a^m)^3·(a^n)^2=(a^p)^2.$又$(a^m)^3·(a^n)^2=a^(3m+2n),(a^p)^2=a^(2p),$
∴3m+2n=2p.

5 已知 $2^1 = 2$,$2^2 = 4$,$2^3 = 8$,$2^4 = 16$,$2^5 = 32$,$2^6 = 64$,$2^7 = 128$,$2^8 = 256$,…,观察上述算式的规律,试判断 $8^{667}$ 的个位数字是几?

答案： 5.从题中可以看出,指数每连续4个数后,运算结果的个位数字就会出现循环,分别是2,4,8,6,而$8^667=(2^3)^667=2^2001=2^(4×500+1),$所以它的个位数字是2.

6 定义一种幂的新运算:$x^a \oplus x^b = x^{ab} + x^{a + b}$,请利用这种运算规则解决下列问题.
(1)求 $2^2 \oplus 2^3$ 的值;
(2)若 $2^p = 3$,$2^q = 5$,$3^q = 6$,求 $2^p \oplus 2^q$ 的值.

答案： $6.(1)2^2⊕2^3=2^(2×3)+2^(2+3)=2^6+2^5=64+32=96.(2)$当2^p=3,2^q=5,3^q=6时,2^p⊕2^q=2^(pq)+2^(p+q)=(2^p)^q+2^p×2^q=3^q+3×5=6+15=21.