《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

10 (2025·江苏南通海门区期中)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点 A(0,1),B(2,0),C(4,4)均在正方形网格的格点上.
(1)画出△ABC 关于 x 轴对称的图形$△A_1B_1C_1,$并写出顶点$ A_1,B_1,C_1 $的坐标;
(2)求△ABC 的面积;
(3)在 x 轴上找一点 P,使得△PAC 的周长最小(保留作图痕迹).

答案：

(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.A₁(0,−1),B₁(2,0),C₁(4,−4).
(2)△ABC的面积为4×4−$\frac{1}{2}$×1×2−$\frac{1}{2}$×2×4−$\frac{1}{2}$×3×4=16−1−4−6=5.
(3)如图，连接AC₁与x轴的交点即为所求的点P.

11 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB= AC,过点 A 作 BC 的平行线交∠ABC 的平分线于点 D,连接 CD.
(1)求证:△ACD 为等腰三角形;
(2)若∠BAD= 140°,求∠ACD 的度数.

答案：

(1)如图,
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2.
∵AD//BC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AB=AD.
∵AB=AC,
∴AC=AD,
∴△ACD为等腰三角形.
(2)由
(1)知,∠1=∠2=∠3.
∵∠BAD=140°,∠BAD+∠1+∠3=180°,
∴∠1=∠2=∠3=$\frac{1}{2}$×(180°−∠BAD)=20°,
∴∠ABC=40°.
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=40°.由
(1)知,AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC=∠BDC+∠3=∠BDC+20°.
∵AD//BC,
∴∠BCD+∠ADC=180°,
∴40°+(∠BDC+20°)+(∠BDC+20°)=180°,
∴∠BDC=50°,
∴∠ACD=70°.

12 (2025·陕西安康石泉期末)如图,∠ABC= ∠ADC= 90°,AC 与 BD 相交于点 E,∠ABD= ∠ADB.
(1)求证:AC 垂直平分 BD;
(2)过点 B 作 BF//CD 交 CA 的延长线于点 F,如果 AB= AF;
①求证:△BCD 是等边三角形;
②如果 G,H 分别是线段 AC、线段 CD 上的动点,当 GH+AH 为最小值时,请确定点 H 的位置,并思考此时 GH 与 CH'有怎样的数量关系.

答案：

(1)
∵∠ABD=∠ADB,∠ABC=∠ADC=90°,
∴AB=AD,∠ABC−∠ABD=∠ADC−∠ADB,
∴点A在BD的垂直平分线上,∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD,
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD.
(2)①如图
(1),设∠F=α.
∵AB=AF,
∴∠ABF=∠F=α.

∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC=∠F+∠AFB=2α.
由
(1),得AC⊥BD,CB=CD,
∴∠BCE=∠DCE.
∵BF//CD,
∴∠F=∠DCE,
∴∠F=∠BCE=α.
∵∠ABC=90°,
∴∠BCE+∠BAC=90°,即α+2α=90°,则α=30°,
∴∠DCB=2∠BCE=60°.
∵BC=CD,
∴△BCD是等边三角形.
②GH+AH为最小值时,GH与CH的数量关系是CH=2GH.
理由如下:如图
(2),延长AD至A',使DA'=AD.

∵CD⊥AD,
∴A与A'关于CD成轴对称，过A'作A'G⊥AC于点G,交CD于点H,连接AH,
∴AH=A'H,
∴AH+GH=A'H+GH=A'G,此时GH+AH为最小值.
由①知,∠DCE=30°,即∠GCH=30°.
∵A'G⊥AC即GH⊥CG,
∴在Rt△GCH中,∠GCH=30°,
∴CH=2GH,
∴GH+AH为最小值时,GH与CH的数量关系是CH=2GH.

13 中考新考法 探究几何问题 如图,已知在△ABC,AB= AC,点 D 在线段 BC 上,点 E 在线段 AC 上,设∠BAD= α,∠CDE= β.
(1)如果∠B= 60°,α= 20°,β= 10°,那么△ADE 是什么特殊三角形?请说明理由.
(2)猜想 α 与 β 之间有什么关系时,使得 AD= AE?并进行证明.

答案：
(1)△ADE是等腰三角形.理由如下:
∵AB=AC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°.
∵∠BAD=20°,
∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=40°.
∵∠AED是△CDE的一个外角，
∴∠AED=∠C+∠CDE=70°,
∴∠ADE=180°−∠DAE−∠AED=70°,
∴∠ADE=∠AED=70°,
∴AD=AE,
∴△ADE是等腰三角形.
(2)当α=2β时,使得AD=AE,理由如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,
∴∠ADE+β=∠B+α.
∵α=2β,
∴∠ADE=∠B+β.
∵∠AED=∠C+∠CDE,
∴∠AED=∠C+β,
∴∠ADE=∠AED,
∴AD=AE.