《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

14 中考新考法 满足条件的结论开放 在综合实践课上,老师以"含30°角的三角板和等腰三角形纸片"为模具与同学们开展如下数学活动:在等腰三角形纸片 ABC 中,CA= CB,∠ACB= 120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺 PMN(∠M= 90°,∠MPN= 30°)按如图所示放置,顶点 P 在线段 AB 上滑动(点 P 不与 A,B 重合),三角尺的直角边 PM始终经过点 C,并与 CB 的夹角为α(∠PCB= α),斜边 PN 交 AC于点 D.
[特例感知]
(1)当∠BPC= 110°时,α= ______°,点 P 从点 B向点 A 运动时,∠ADP 逐渐变______(填"大"或"小").
[思维拓展] (2)在点 P 的滑动过程中,△PCD 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出夹角 α 的大小;若不可以,请说明理由.

答案：
(1)40　小
(2)由△PCD是等腰三角形,∠PCD=120°−α,∠CPD=30°.有以下三种情况:①当PC=PD时,∠PCD=∠PDC=$\frac{1}{2}$×(180°−30°)=75°,即120°−α=75°,解得α=45°;
②当PD=CD时,∠PCD=∠CPD=30°,即120°−α=30°,解得α=90°;
③当PC=CD时,∠CDP=∠CPD=30°,则∠PCD=180°−2×30°=120°,即120°−α=120°,解得α=0°,此时点P与点B 重合，点D和A重合.
∵点P不与A,B重合,
∴此情况舍去.综上所述，当△PCD是等腰三角形时，α=45°或90°.

15 中考新考法 新定义问题 在平面直角坐标系 xOy 中,对于任意图形 G及直线$l_1,l_2,$给出如下定义:将图形 G 先沿直线$ l_1$翻折得到图形$ G_1,$再将图形$ G_1$沿直线$ l_2$翻折得到图形$ G_2,$则称图形$ G_2$是图形 G 的$＜l_1,l_2＞$伴随图形.
例如:点 P(2,1)的＜x 轴,y 轴＞伴随图形是点 P'(-2,-1).
(1)点 Q(-3,-2)的＜x 轴,y 轴＞伴随图形点 Q'的坐标为______.
(2)已知 A(t,1),B(t-3,1),C(t,3),直线 m 经过点(1,1).
①当 t= -1,且直线 m 与 y 轴平行时,点 A 的＜x 轴,m＞伴随图形点 A'的坐标为______;
②当直线 m 经过原点时,若△ABC 的＜x 轴,m＞伴随图形上只存在两个与 x 轴的距离为 1 的点,直接写出 t 的取值范围.

答案：
(1)(3,2)
(2)①(3,−1)
②
∵直线m过原点且过点(1,1),
∴直线m为第一、三象限的角平分线,
∴A,B,C的(x轴,m)伴随点先沿x轴翻折,点坐标依次为(t,−1),(t−3,−1),(t,−3);沿直线m翻折，点坐标依次为(−1,t),(−1,t−3),(−3,t).由题意，得|t|＜1或|t−3|＜1,
∴−1＜t＜1或2＜t＜4.