《2025年课时训练八年级数学上册人教版江苏人民出版社》

15 数学活动课上,老师准备了如图(1)中三种不同大小的正方形与长方形,拼成了一个如图(2)所示的正方形.

(1)请用两种不同的方法表示图(2)中阴影部分的面积和.
方法1: ;
方法2: .
(2)请你直接写出三个式子:$(a+b)^{2}$,$a^{2}+b^{2}$,ab之间的等量关系.
(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知$m+n= 5$,$m^{2}+n^{2}= 20$,求mn和$(m-n)^{2}$的值;
②已知$(x-2021)^{2}+(x-2023)^{2}= 34$,求$(x-2022)^{2}$的值.

答案：
(1)a²+b² (a+b)²-2ab
(2)a²+b²=(a+b)²-2ab.
(3)①由
(2)题结论a²+b²=(a+b)²-2ab,得ab=(a+b)²-(a²+b²)/2.
∵m+n=5,m²+n²=20,
∴mn=(m+n)²-(m²+n²)/2=5²-20/2=5/2.(m-n)²=m²-2mn+n²=20-2×5/2=20-5=15.②设a=x-2021,b=x-2023,则a-b=2,a+b=(x-2021)+(x-2023)=2x-4044=2(x-2022).
∵(a-b)²=2²=4,且(a-b)²=a²-2ab+b²,
∴2ab=(a²+b²)-(a-b)²=34-4=30,
∴(x-2022)²=(a+b/2)²=a²+2ab+b²/4=34+30/4=64/4=16.

16 中考新考法 概念型阅读理解题 (2025·山东济南济阳区期末)[概念学习]
一个含有多个字母的代数式中,任意交换其中两个字母的位置,当字母的取值均不相等,且都不为0时,代数式的值不变,这样的式子叫作对称式.
[特例感知]
代数式$m+n+p$中任意两个字母交换位置,可得到代数式$n+m+p$,$p+n+m$,$m+p+n$,因为$n+m+p= p+n+m= m+p+n$,所以$m+n+p$是对称式.而交换式子$m-n$中字母m,n的位置,得到代数式$n-m$,因为$m-n\neq n-m$,所以$m-n$不是对称式.
[问题解决]阅读以上材料,解答下面的问题:
(1)下列代数式中是对称式的有 (填序号);
①$2^{m}\cdot 2^{n}\cdot 2^{p}$;②$[(-2)^{m}]^{n}$;③$\frac{(-2)^{m}}{(-2)^{n}}$;④$(m-n)^{2}$.
(2)若关于m,n的代数式$k(m-n)^{2}+km^{2}-n^{2}$为对称式,则k的值为 ;
(3)在(2)的条件下,已知上述对称式$k(m-n)^{2}+km^{2}-n^{2}= -10$,且$mn= 1$,求$(m-n)^{2}$的值.

答案：
(1)①②④ [解析]①
∵2^m·2^n·2^p=2^p·2^n·2^m,
∴①是对称式;②
∵[(-2)^m]^n=[(-2)^n]^m,
∴②是对称式;③
∵(-2)^m/(-2)^n≠(-2)^n/(-2)^m,
∴③不是对称式;④
∵(m-n)²=(n-m)²,
∴④是对称式.
(2)-1 [解析]
∵关于m,n的代数式k(m-n)²+km²-n²为对称式,
∴k(m-n)²+km²-n²=k(n-m)²+kn²-m²,
∴k(m-n)²-k(n-m)²+km²-kn²+m²-n²=0,
∴k(m²-n²)+(m²-n²)=0,
∴(k+1)(m²-n²)=0,
∴k+1=0,k=-1.
(3)
∵k=-1,
∴-(m-n)²-m²-n²=-10,
∴-m²+2mn-n²-m²-n²=-10,
∴-2m²-2n²+2mn=-10,
∴-2(m²+n²)=-10-2mn,
∴m²+n²=5+mn=6,
∴(m-n)²=m²+n²-2mn=6-2×1=6-2=4.