《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

7. 中考新考法 新定义问题 (2024·苏州工业园区金鸡湖学校期中)规定$a*b= 3^{a}×3^{b}$,求：
(1)求$1*2$；
(2)若$2*(x+1)= 81$,求x的值.

答案： 7.
(1)
∵a*b=3^a×3^b,
∴$1*2=3^1×3^2=3^3=27.(2)$
∵2*(x+1)=81,
∴$3^2×3^(x+1)=3^4,$则2+x+1=4,解得x=1.

8. (2025·福建泉州期中)定义：如果$a^{c}= b$,那么c为$(a,b)$的“幸福指数”,记为$L(a,b)= c$.例如$3^{2}= 9$,那么2为$(3,9)$的“幸福指数”,记为$L(3,9)= 2$.
(1)填空：$L(2,8)=$3,$L(-4,$16$)= 2$；
(2)若$(-3,x)$的“幸福指数”为3,$(y,-8)$的“幸福指数”也为3,求$x+y$的值.
∵(-3,x)的“幸福指数”为3,∴$x=(-3)^3=-27.$∵(y,-8)的“幸福指数”也为3,∴$y^3=-8,$∴y=-2,∴x+y=-27+(-2)=-29.

答案： 8.
(1)3 16 [解析]
∵$2^3=8,(-4)^2=16,$
∴L(2,8)=3,L(-4,16)=2.
(2)
∵(-3,x)的“幸福指数”为3,
∴$x=(-3)^3=-27.$
∵(y,-8)的“幸福指数”也为3,
∴$y^3=-8,$
∴y=-2,
∴x+y=-27+(-2)=-29.

9. (2025·辽宁沈阳期中)定义：如果$2^{m}= n(m,n$为正数),那么我们把m叫作n的D数,记作$m= D(n)$.
(1)根据D数的定义,填空：$D(2)=$1,$D(16)=$4；
(2)D数有如下运算性质：$D(s\cdot t)= D(s)+D(t),D(\frac {q}{p})= D(q)-D(p)$,其中$q＞p$.
根据运算性质,计算：
①若$D(a)= 1$,求$D(a^{3})$；
②若已知$D(3)= 2a-b,D(5)= a+c$,试求$D(15),D(\frac {5}{3}),D(108),D(\frac {27}{20})$的值(用a,b,c表示).
①∵$D(a)=1$，根据D数定义$2^1=a$，所以$a=2$，则$a^3=2^3$，故$D(a^3)=3$。②$D(15)=D(3×5)=D(3)+D(5)=(2a - b)+(a + c)=3a - b + c$；$D(\frac{5}{3})=D(5)-D(3)=(a + c)-(2a - b)=-a + b + c$；$D(108)=D(3×3×3×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+D(2)=3D(3)+2D(2)=3×(2a - b)+2×1=6a - 3b + 2$；$D(\frac{27}{20})=D(27)-D(20)=D(3×3×3)-D(5×2×2)=3D(3)-[D(5)+2D(2)]=3×(2a - b)-[(a + c)+2×1]=6a - 3b - a - c - 2=5a - 3b - c - 2$。

答案： 9.
(1)1 4 [解析]
∵$2^1=2,$
∴D
(2)=1.
∵$2^4=16,$
∴D
(16)=4.
(2)①
∵$2^1=a,$
∴a=2.
∴$a^3=2^3.$
∴$D(a^3)=3.②D(15)=D(3×5)=D(3)+D(5)=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c.D(5/3)=D(5)-D(3)=(a+c)-(2a-b)=-a+b+c.D(108)=D(3×3×3×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+D(2)=3×D(3)+2×D(2)=3×(2a-b)+2×1=6a-3b+2.D(27/20)=D(27)-D(20)=D(3×3×3)-D(5×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)-[D(5)+D(2)+D(2)]=3×D(3)-[D(5)+2D(2)]=3×(2a-b)-[a+c+2×1]=6a-3b-a-c-2=5a-3b-c-2.$