《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

14. 教材P145习题T5·拓展 下面三个分式,要求不改变分式的值,并满足下列要求:
①$\frac {\frac {3}{5}x^{2}-0.1x-3}{1-\frac {1}{2}x+0.5x^{2}}$;②$-\frac {35xy}{-2a^{2}};$
③$\frac {-5+6x+7x^{2}}{-2+4x-3x^{2}}.$
(1)使分式①的分子与分母中各项的系数都化为整数;
(2)使分式②的分子与分母都不含“-”号；
(3)使分式③的分子与分母的最高次项的系数都是正数.

答案：
(1)将分式①的分子分母同时乘10,得原式$=\frac{6x^{2}-x-30}{10-5x+5x^{2}}$.
(2)将②中分式和分式中的分母同时变号,分式值不变,原式$=\frac{35xy}{2a^{2}}$.
(3)将③中分式和分式的分母同时改变符号,得原式$=-\frac{-5+6x+7x^{2}}{2-4x+3x^{2}}$.

15. 新情境 数学与生活融合 如图所示的是小婷同学的数学日记,请仔细阅读,并回答相应的问题:
×年×月×日,星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题:已知$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}= 2(xy≠0)$,求分式$\frac {3x-5xy-3y}{x+6xy-y}$的值,该题没有给出x,y的值,怎样求出分式的值?数学课外书上介绍了两种方法.
方法1:$\because \frac {1}{x}-\frac {1}{y}= 2,$
$\therefore \frac {y-x}{xy}= 2,\therefore y-x= 2xy,\therefore x-y= -2xy,$
$\therefore 原式= \frac {3(x-y)-5xy}{(x-y)+6xy}= \frac {3×(-2xy)-5xy}{-2xy+6xy}$
$=\frac {-11xy}{4xy}= -\frac {11}{4}.$
方法2:$xy≠0$,将分式的分子、分母同时除以xy,得原式$=\frac {(3x-5xy-3y)÷xy}{(x+6xy-y)÷xy}= ... ... $
(1)“方法1”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变;
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整；
$\because xy\neq0$,$\therefore$原式$=\frac{(3x-5xy-3y)÷ xy}{(x+6xy-y)÷ xy}=\frac{\frac{3}{y}-5-\frac{3}{x}}{\frac{1}{y}+6-\frac{1}{x}}=\frac{3(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})-5}{\frac{1}{y}-\frac{1}{x}+6}$.$\because\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$,$\therefore\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=-2$,$\therefore$原式$=\frac{3×(-2)-5}{-2+6}=\frac{-11}{4}$.
(3)若$b= ab+a$(a,b都不为0),请直接写出$\frac {5b-7ab-5a}{a-ab-b}$的值.1

答案：
(1)分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变
(2)$\because xy\neq0$,$\therefore$原式$=\frac{(3x-5xy-3y)÷ xy}{(x+6xy-y)÷ xy}=\frac{\frac{3}{y}-5-\frac{3}{x}}{\frac{1}{y}+6-\frac{1}{x}}=\frac{3(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})-5}{\frac{1}{y}-\frac{1}{x}+6}$.$\because\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$,$\therefore\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=-2$,$\therefore$原式$=\frac{3×(-2)-5}{-2+6}=\frac{-11}{4}$.
(3)$\because b=ab+a$,$\therefore a-b=-ab$,$\therefore\frac{5b-7ab-5a}{a-ab-b}=\frac{-5(a-b)-7ab}{a-b-ab}=\frac{-5×(-ab)-7ab}{-ab-ab}=\frac{-2ab}{-2ab}=1$.