《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

22. 一条防洪堤坝,其横断面是梯形,上底宽$a$米,下底宽$(a + 2b)$米,坝高$\frac{1}{2}a$米.
(1)求防洪堤坝的横断面积.
(2)如果防洪堤坝长100米,那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

答案：
(1)防洪堤坝的横断面积$S=\frac{1}{2}[a+(a + 2b)]×\frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a(2a + 2b)=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab$.故防洪堤坝的横断面积为$(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)$平方米.
(2)由题意，得堤坝的体积$V = Sh=(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab)×100 = 50a^{2}+50ab$.故这段防洪堤坝的体积是$(50a^{2}+50ab)$立方米.

23. (四川成都树德中学自主招生)五张如图(1)所示的长为$a$,宽为$b(a ＞ b)$的小长方形纸片,按如图(2)的方式不重叠地放在矩形$ABCD$中,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示,设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为$S$,当$BC$的长度变化时,按照同样的放置方式,$S$始终保持不变,则$a$,$b$满足的关系式为(A).

A.$a = 2b$
B.$a = 3b$
C.$3a = 2b$
D.$2a = 3b + 1$

答案： A

24. 中考新考法 规律探究 (2025·福建厦门思明区月考)已知一些两位数相乘的算式：$62 × 11$,$78 × 69$,$34 × 11$,$63 × 67$,$18 × 22$,$15 × 55$,$12 × 34$,$54 × 11$. 利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形.
(1)观察已知算式,选出具有共同特征的3个算式,并用文字描述它们的共同特征.
$62×11$，$34×11$，$54×11$.这3个算式的共同特征为一个两位数与11相乘.
(2)分别计算你选出的算式. 观察计算的结果,你能不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律.
$62×11 = 682$，$34×11 = 374$，$54×11 = 594$.
规律:两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上数的积，十位上的数是非11的因数各个位数的和(满10进1)，个位上的数是两个因数个位上数的积
(3)证明你发现的规律.
设一个两位数为$\overline{ab}$，另一个数为11，则它们的积为$\overline{ab}×11 = 11(10a + b)=110a + 11b=100a + 10a + 10b + b=100a + 10(a + b)+b$.
(4)在已知算式中,找出所有可以应用(或经过转化可以应用)上述规律的算式,并将它们写在横线上：____.$18×22$　$15×55$

答案：
(1)$62×11$，$34×11$，$54×11$.这3个算式的共同特征为一个两位数与11相乘.
(2)$62×11 = 682$，$34×11 = 374$，$54×11 = 594$.
规律:两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上数的积，十位上的数是非11的因数各个位数的和(满10进1)，个位上的数是两个因数个位上数的积
(3)设一个两位数为$\overline{ab}$，另一个数为11，则它们的积为$\overline{ab}×11 = 11(10a + b)=110a + 11b=100a + 10a + 10b + b=100a + 10(a + b)+b$.
(4)$18×22$　$15×55$

25. 数形结合思想 设$0 ＜ a$,$b$,$c$,$d ＜ 1$,$y = a(1 - b) + b(1 - c) + c(1 - d) + d(1 - a)$,求证：$y ＜ 2$.

答案：
如图，作边长为1的正方形ABCD，分别在AB，BC，CD，DA上取点E，F，G，H，使$BE = a$，$FC = b$，$GD = c$，$HA = d$，则$\frac{1}{2}[a(1 - b)+b(1 - c)+c(1 - d)+d(1 - a)]=S_{\triangle EBF}+S_{\triangle FCG}+S_{\triangle GDH}+S_{\triangle HAE}\lt S_{正方形ABCD}=1$.
∴$a(1 - b)+b(1 - c)+c(1 - d)+d(1 - a)\lt 2$，即$y\lt 2$.