《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

5. (2025·四川绵阳涪城区期末)在$\triangle ABC$中,三个内角的平分线交于点$O$,过$O作OD\perp OB$,交边$AB于点D$,如图.
(1)若$∠ABC= 40^{\circ}$,则$∠AOC= $110°,$∠ADO= $110°；
(2)猜想$∠AOC与∠ADO$的关系,并说明理由.

(2)∠AOC=∠ADO.理由如下:
设∠ABC=α,
∴∠BAC+∠BCA=180° - α.
∵在△ABC中,三个内角的平分线交于点O,
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=90° - $\frac{1}{2}$α,
∴∠AOC=180° - (∠OAC+∠OCA)=90°+$\frac{1}{2}$α.
∵OB平分∠ABC,∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$α.
∵OD⊥OB,∴∠BOD=90°,∴∠BDO=90° - $\frac{1}{2}$α,
∴∠ADO=180° - ∠BDO=90°+$\frac{1}{2}$α,
∴∠AOC=∠ADO.

答案： 5.
(1)110° 110° [解析]
∵∠ABC=40°,
∴∠BAC+∠BCA=180° - 40°=140°.
∵在△ABC中，三个内角的平分线交于点O,
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=70°,
∴∠AOC=180° - 70°=110°.
∵OB平分∠ABC,
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°.
∵OD⊥OB,
∴∠BOD=90°,
∴∠BDO=70°,
∴∠ADO=110°.
(2)∠AOC=∠ADO.理由如下:
　设∠ABC=α,
∴∠BAC+∠BCA=180° - α.
∵在△ABC中,三个内角的平分线交于点O,
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=90° - $\frac{1}{2}$α,
∴∠AOC=180° - (∠OAC+∠OCA)=90°+$\frac{1}{2}$α.
∵OB平分∠ABC,
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$α.
∵OD⊥OB,
∴∠BOD=90°,
∴∠BDO=90° - $\frac{1}{2}$α,
∴∠ADO=180° - ∠BDO=90°+$\frac{1}{2}$α,
∴∠AOC=∠ADO.

6. (2025·安徽亳州蒙城期末)如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别是AB$,$AC$上两点,将$\triangle ABC沿DE$折叠,使点$A落在点F$处,若$∠A= \alpha$,$∠FDB= \beta$,则$∠FEC$的度数是(C).

A.$\alpha+\beta$
B.$\alpha+2\beta$
C.$2\alpha+\beta$
D.$90^{\circ}+\frac{\alpha+\beta}{2}$

答案： 6. C [解析]由折叠,得∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF.
∵∠FDB=β,
∴∠ADF=180° - ∠FDB=180° - β,
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$(360° - ∠ADF)=90°+$\frac{β}{2}$,
∴∠AEF=∠AED+∠DEF=2∠AED=180° - 2α - β,
∴∠FEC=180° - ∠AEF=2α + β.
　故选C.

7. (2025·广东东莞期中)如图,$M$,$N分别是\triangle ABC的边AB$,$AC$上一点,将$\triangle ABC沿MN$折叠,使点$A落在边BC$上,若$∠1+∠2+∠3+∠4= 235^{\circ}$,则$∠A$的度数为(D).

A.$35^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$55^{\circ}$

答案： 7. D [解析]
∵∠1+∠2+∠3+∠4=235°,∠1+∠4+∠B=180°,∠2+∠3+∠C=180°,
∴∠C+∠B=360° - (∠1+∠2+∠3+∠4)=125°.
∵∠A+∠C+∠B=180°,
∴∠A=180° - (∠C+∠B)=55°.故选D.

8. 分类讨论思想 (2025·河南洛阳期末)如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$∠B= 34^{\circ}$,点$M$,$N分别在边AB$,$BC$上,将$\triangle BMN沿MN$折叠,使点$B落在直线AC上的点B'$处,当$\triangle AB'M$为直角三角形时,$∠BNM$的度数为____.

答案：
8. 73°或101° [解析]①当∠AB'M=90°时.
∵∠C=90°,
∴∠AB'M=∠C=90°,
∴B'M//BC,
∴∠AMB'=∠B=34°,
∴∠BMB'=146°.
　由折叠的性质,可得∠BMN=∠B'MN=$\frac{1}{2}$∠BMB'=73°,
∴∠BNM=180° - 34° - 73°=73°.
　②当∠AMB'=90°时,如图,
　　　　　　　　
∴∠BMB'=90°.
　由折叠的性质,可得∠BMN=∠B'MN=$\frac{1}{2}$∠BMB'=45°,
∴∠BNM=180° - 34° - 45°=101°.
　综上,∠BNM的度数为73°或101°.

9. (2024·江西南昌期末改编)已知$\triangle ABC$中,$∠A= 65^{\circ}$,将$∠B$,$∠C$按照如图所示折叠,若$∠ADB'= 35^{\circ}$,求$∠1+∠2+∠3$的度数.

答案： 9. 如图,由折叠,知∠B=∠B',∠C=∠C'.
∵∠3=∠B+∠4,∠4=∠ADB'+∠B',
∴∠3=∠B+∠ADB'+∠B'=2∠B+35°.
∵∠1+∠2=180° - ∠C'GC+180° - ∠C'FC=360° - (∠C'FC+∠C'GC),
　∠C'FC+∠C'GC=360° - ∠C - ∠C'=360° - 2∠C,
∴∠1+∠2=360° - (∠C'FC+∠C'GC)=360° - (360° - 2∠C)=2∠C.
∴∠1+∠2+∠3=2∠C+2∠B+35°=2(∠C+∠B)+35°=2(180° - ∠A)+35°=2×(180° - 65°)+35°=265°.