《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

9. (2025·北京朝阳区人大附中期中)在$\triangle ABC$中,$AB＞AC$,$D$,$E是边BC$上的两点,且$BD＜BE$,有下列四个推断：
①若$AD是\triangle ABC$的高,则$AE可能是\triangle ABC$的中线；
②若$AD是\triangle ABC$的中线,则$AE可能是\triangle ABC$的高；
③若$AD是\triangle ABC$的角平分线,则$AE可能是\triangle ABC$的中线；
④若$AD是\triangle ABC$的高,则$AE不可能是\triangle ABC$的角平分线。
上述推断中所有正确结论的序号是______。

答案：
②④ ［解析］①如图
(1)，
∵AB＞AC，AD 是△ABC 的高，
∴AE 不可能是△ABC 的中线，本小题结论错误；②如图
(2)，AD 是△ABC 的中线，则 AE 可能是△ABC 的高，本小题结论正确；③如图
(3)，AD 是△ABC 的角平分线，则 AE 不可能是△ABC 的中线，本小题结论错误；④如图
(1)，AD 是△ABC 的高，则 AE 不可能是△ABC 的角平分线，本小题结论正确。

10. 分类讨论思想在$\triangle ABC$中,$D是BC$的中点,$AB = 12$,$AC = 8$。用剪刀从点$D$入手进行裁剪,若沿$DA$剪成两个三角形,它们周长的差为______；若点$E在AB$上,沿$DE剪开得到两部分周长差为2$,则$AE = $______。

答案：
4 1 或 3 ［解析］如图
(1)。
∵D 是 BC 的中点，
∴BD = CD，
∴△ABD 的周长 - △ACD 的周长 = AB + BD + AD - (AC + CD + AD) = AB - AC = 12 - 8 = 4。

如图
(2)，设 AE = x，则 BE = 12 - x，
当四边形 ACDE 的周长 - △BDE 的周长 = 2 时，
即 AE + ED + CD + AC - (BE + BD + DE) = 2，
整理，得 AE + AC - BE = 2，
∴x + 8 - (12 - x) = 2，解得 x = 3；
当△BDE 的周长 - 四边形 ACDE 的周长 = 2 时，
即 BE + BD + DE - (AE + ED + CD + AC) = 2，
整理，得 BE - AE - AC = 2，
∴12 - x - x - 8 = 2，解得 x = 1。
综上，AE = 1 或 3。

11. (2025·广东珠海香洲区期末)如图所示,点$A$,$B$,$C分别是线段BD$,$CE$,$AF$的中点,若$\triangle DEF的面积为a$,则$\triangle ABC$的面积为______。(用含$a$的式子表示)

答案：
$\frac{1}{7}$a ［解析］如图，连接 AE，CD，设△ABC 的面积为 x。
∵点 B 为 CE 中点，
∴S△ABE = S△ABC = x。
同理，可得 S△ADE = x，S△ACD = S△FCD = x，S△FCE = 2x，
∴S△DEF = 7x。
∵△DEF 的面积为 a，
∴7x = a，
则 x = $\frac{1}{7}$a，
∴△ABC 的面积为 $\frac{1}{7}$a。

12. (2025·陕西西安杨陵区期末)如图,在$\triangle ABC$中,$CD$是中线,已知$BC - AC = 5cm$,$\triangle DBC的周长为25cm$,求$\triangle ADC$的周长。

答案：
∵CD 是中线，
∴AD = BD，
∴△DBC 的周长 - △ADC 的周长 = (BC + BD + CD) - (AC + AD + CD) = BC - AC。
∵BC - AC = 5cm，△DBC 的周长为 25cm，
∴25 - △ADC 的周长 = 5，
∴△ADC 的周长为 20cm。

13. (2024·河南商丘期末)如图,在$\triangle ABC中(AC＞AB)$,$AC = 2BC$,边$BC上的中线AD把\triangle ABC的周长分成55和45$两部分,求$AC和AB$的长。

答案： 设 BC = 2x，则 AC = 4x。
∵AD 是边 BC 上的中线，
∴CD = BD = x，
由题意，得 x + 4x = 55，AB + x = 45，
解得 x = 11，AB = 34，
∴AC = 4x = 44。
∵AB + BC＞AC，
∴AC 的长为 44，AB 的长为 34。

14. (2025·安徽合肥包河区滨湖寿春中学期中)如图,$\triangle ABC的周长为24$,$AC = 8$,边$BC上的中线AE = 5$,$\triangle ABE的周长为16$,求$AB$的长。

答案： 设 AB = x，BE = y。
∵AE 是边 BC 上的中线，
∴BC = 2BE = 2y。
∵△ABC 的周长为 24，
∴C△ABC = x + 8 + 2y = 24。
∵△ABE 的周长为 16，
∴C△ABE = AB + AE + BE = x + 5 + y = 16，
即$\begin{cases}x + 8 + 2y = 24\\x + 5 + y = 16\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6\\y = 5\end{cases}$，
∴AB 的长为 6。

15. 方程思想在$\triangle ABC$中,$AB:AC = 3:2$,$BC = AC + 1$,若$\triangle ABC的中线BD把\triangle ABC的周长分成两部分的比是8:7$,求边$AB$,$AC$的长。

答案： 设 AB = 3x，则 AC = 2x，AD = CD = x，BC = 2x + 1。
当题目中涉及“比”时，可利用方程思想解题。分两种情况讨论：
①当(AB + AD)∶(BC + CD) = 8∶7 时，
即 4x∶(3x + 1) = 8∶7，
解得 x = 2，则 AB = 6，AC = 4；
②当(BC + CD)∶(AB + AD) = 8∶7 时，
即(3x + 1)∶4x = 8∶7，
解得 x = $\frac{7}{11}$，则 AB = $\frac{21}{11}$，AC = $\frac{14}{11}$。
综上所述，AB = 6，AC = 4 或 AB = $\frac{21}{11}$，AC = $\frac{14}{11}$。