《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

18. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 (2025·内蒙古乌兰察布集宁区期末)若$a^{m}= a^{n}(a＞0且a≠1,m,n$是正整数),则$m= n$. 利用上面结论解决下面的问题:
(1)如果$8^{x}= 2^{5}$,求$x$的值;
(2)如果$2^{x+2}+2^{x+1}= 24$,求$x$的值;
(3)若$x= 5^{m}-3,y= 4-25^{m}$,用含$x的代数式表示y$.

答案：
(1)
∵8ˣ=(2³)ˣ=2³ˣ=2⁵,
∴3x=5,解得$x=\dfrac{5}{3}$.
(2)
∵2ˣ⁺²+2ˣ⁺¹=24,
∴2ˣ(2²+2)=24,
∴2ˣ=4,
∴x=2.
(3)
∵x=5ᵐ-3,
∴5ᵐ=x+3,
∴y=4-25ᵐ=4-(5²)ᵐ=4-(5ᵐ)²=4-(x+3)².

19. (2024·贵州遵义红花岗区期中)阅读下列两则材料,解决问题.
材料一:比较$3^{22}和4^{11}$的大小.
解:$\because 4^{11}= (2^{2})^{11}= 2^{22},3＞2$,
$\therefore 3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数(底数大于1)的大小,来确定两个幂的大小.
材料二:比较$2^{8}和8^{2}$的大小.
解:$\because 8^{2}= (2^{3})^{2}= 2^{6},8＞6$,
$\therefore 2^{8}＞2^{6}$,即$2^{8}＞8^{2}$.
小结:底数相同(底数大于1)的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小.
(1)比较$3^{40},4^{30},5^{20}$的大小;
(2)比较$16^{31},8^{41},4^{61}$的大小;
(3)已知$a^{5}= 2,b^{7}= 3$,比较$a,b$的大小.($a,b$均为大于1的数)

答案：
(1)
∵3⁴⁰=(3⁴)¹⁰=81¹⁰,4³⁰=(4³)¹⁰=64¹⁰,5²⁰=(5²)¹⁰=25¹⁰,81＞64＞25,
∴3⁴⁰＞4³⁰＞5²⁰.
(2)
∵16⁶¹=(2⁴)⁶¹=2²⁴⁴,8⁴¹=(2³)⁴¹=2¹²³,4⁶¹=(2²)⁶¹=2¹²²,124＞123＞122,
∴16⁶¹＞8⁴¹＞4⁶¹.
(3)
∵a⁵=2,b⁷=3,
∴(a⁵)⁷=a³⁵=2⁷=128,(b⁷)⁵=b³⁵=3⁵=243.
∵128＜243,
∴a＜b.

20. 中考新考法 新定义问题 材料一:如果$10^{b}= n$,那么$b为n$的劳格数,记为$b= d(n)$,由定义可知:$10^{b}= n与b= d(n)表示的b,n$两个量之间的同一关系. 例如:$10^{1}= 10,d(10)= 1$.
材料二:劳格数有如下运算性质:若$m,n$为正数,则$d(mn)= d(m)+d(n)$.
(1)根据劳格数的定义,填空:$d(10^{2})= $2;
(2)若$d(2)= 0.301$,求$d(4)+d(32)$的值;∵d(2)=0.301,d(mn)=d(m)+d(n),∴d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)=0.301+0.301=0.602,d(32)=d(4×8)=d(4)+d(8)=d(4)+d(4×2)=d(4)+d(4)+d(2)=0.602+0.602+0.301=1.505,∴d(4)+d(32)=0.602+1.505=2.107.
(3)已知$d(3)= 2a+b,d(9)= 3a+2b+c,d(27)= 6a+2b+c$,试说明$a,b,c$三者之间的关系.∵d(3)=2a+b,d(9)=3a+2b+c,d(27)=6a+2b+c,∴d(9)=d(3×3)=d(3)+d(3)=2a+b+2a+b=4a+2b,∴3a+2b+c=4a+2b,∴a=c.∵d(27)=d(3×9)=d(3)+d(9)=2a+b+3a+2b+c=5a+3b+c,∴6a+2b+c=5a+3b+c,∴a=b,∴a=b=c.

答案：
(1)2 [解析]
∵n=10²,
∴b=2,
∴d(10²)=b=2.
(2)
∵d
(2)=0.301,d(mn)=d(m)+d(n),
∴d
(4)=d(2×2)=d
(2)+d
(2)=0.301+0.301=0.602,d
(32)=d(4×8)=d
(4)+d
(8)=d
(4)+d(4×2)=d
(4)+d
(4)+d
(2)=0.602+0.602+0.301=1.505,
∴d
(4)+d
(32)=0.602+1.505=2.107.
(3)
∵d
(3)=2a+b,d
(9)=3a+2b+c,d
(27)=6a+2b+c,
∴d
(9)=d(3×3)=d
(3)+d
(3)=2a+b+2a+b=4a+2b,
∴3a+2b+c=4a+2b,
∴a=c.
∵d
(27)=d(3×9)=d
(3)+d
(9)=2a+b+3a+2b+c=5a+3b+c,
∴6a+2b+c=5a+3b+c,
∴a=b,
∴a=b=c.