《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

10. (2025·江苏南通海安期末)如图,在$△ABC$中,$CA= CB,∠ACB= 110^{\circ }$,延长BC到D,在$∠ACD$内作射线CE,使得$∠ECD= 15^{\circ }$.过点A作$AF⊥CE$,垂足为F.若$AF= \sqrt {5}$,则AB的长为( ).

A.$\sqrt {10}$
B.$2\sqrt {5}$
C.4
D.6

答案：
B　[解析]如图,过点C作CH⊥AB于点H.

∵CA=CB,∠ACB=110°,
∴∠ACH=$\frac{1}{2}$∠ACB=55°,∠ACD=70°,AH=BH.
∵∠ECD=15°,
∴∠ACF=∠ACD - ∠ECD=55°,
∴∠ACH=∠ACF=55°,
∴CA平分∠HCF.
∵AF⊥CE,CH⊥AB,
∴AH=AF=$\sqrt{5}$,
∴AB=2AH=2$\sqrt{5}$.故选B.
名师点评　过点C作CH⊥AB于点H,根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH=BH,∠ACH=∠ACF=55°,则CA平分∠HCF,根据角平分线的性质可得AH=AF,即可得AB的长.

11. (2025·重庆渝北区两江育才中学期末)如图,在$△ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC$于点D,DE$⊥AB$于点E,$BF⊥AC$于点F,$BF= 16$,则DE的值为(C).

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： C　[解析]
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD是△ABC的中线,
等腰三角形三线合一,知一得二
∴S△ABC=2S△ABD=2×$\frac{1}{2}$×DE·AB=DE·AB.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BF,
∴$\frac{1}{2}$AC·BF=DE·AB.
∵AC=AB,
∴BF=2DE.
∵BF=16,
∴DE=8.
故选C.

12. (2025·内蒙古通辽期末)如图,在$△ABC$中,$AB= AC,BD= CE,CD= BF$,若$∠A= $$50^{\circ }$,则$∠EDF= $B.
A.$80^{\circ }$
B.$65^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$20^{\circ }$

答案： B　[解析]
∵AB=AC,∠A=50°,
∴∠B=∠C=65°.
在△BDF与△CED中,
$\begin{cases}BD = CE\\∠B = ∠C\\BF = CD\end{cases}$
∴△BDF≌△CED,
∴∠BFD=∠CDE.
∵∠BDF + ∠BFD=180° - ∠B=115°,
∴∠BDF + ∠CDE=115°,
∴∠EDF=180° - (∠BDF + ∠CDE)=65°.故选B.

13. (2024·山东临沂期末)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$60^{\circ }$,则等腰三角形的底角度数为____.

答案：
75°或15°　[解析]在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD为腰AC上的高,∠ABD=60°.
当BD在△ABC内部时,如图
(1),
∵BD为高,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90° - 60°=30°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180° - 30°)=75°;

当BD在△ABC外部时,如图
(2),
∵BD为高，
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90° - 60°=30°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BAC=180° - ∠BAD=150°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180° - 150°)=15°.
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°.

14. (2025·湖北武汉青山区期末)在等腰三角形ABC中.$AB= AC$,两腰的垂直平分线交于点P,已知$∠BPC= 100^{\circ }$,则等腰三角形的顶角为____.

答案：
50°或130°　[解析]分两种情况:
当点P在△ABC的内部时,连接AP,如图
(1).

∵两腰的垂直平分线交于点P,
∴AP=BP=CP,
∴∠CAP=∠ACP,∠BAP=∠ABP.
∵∠BAC=∠BAP + ∠CAP,
∴∠BAP + ∠CAP + ∠ACP + ∠ABP=2∠BAC.
∵∠BPC=100°,
∴∠BPA + ∠CPA=360° - 100°=260°.
∵∠BPA + ∠CPA + 2∠BAC=360°,
∴∠BAC=50°.
当点P在△ABC的外部时,连接AP,如图
(2),

由题意,得AP=BP=CP,
∴∠PAC=∠PCA,∠PBA=∠PAB,
∴∠PBA + ∠PAB + ∠PCA + ∠PAC=2∠BAC,
∵∠PBA + ∠PAB + ∠PCA + ∠PAC + ∠BPC=360°,∠BPC=100°,
∴2∠BAC=360° - 100°=260°,
∴∠BAC=130°.
综上，等腰三角形的顶角为50°或130°.

15. 分类讨论思想 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= $$2∠A$,过点C的直线能将$△ABC$分成两个等腰三角形,则$∠A$的度数为45°或36°或($\frac{540}{11}$)°或($\frac{360}{7}$)°或($\frac{180}{7}$)°.

答案： 45°或36°或($\frac{540}{11}$)°或($\frac{360}{7}$)°或($\frac{180}{7}$)°

16. 方程思想 教材P86练习T13·变式 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,BC= BD,AD= DE= EB$,试求$∠A$的度数.

答案： 设∠ABD=x.
∵AD=DE=EB,
∴∠EDB=x,∠A=∠AED=2x.
∵BD=BC,
∴∠C=∠CDB=∠A + ∠ABD=3x.
又AB=AC,
∴∠C=∠ABC=3x.
∴3x + 3x + 2x=180°,解得x=22.5°,
∴∠A=2x=45°.

17. (2025·江苏扬州江都区期末)如图,$AB= AC= AD.$
(1)若$AD// BC,$
①若$∠C= 80^{\circ }$,则$∠D$的度数为40°;
②猜想$∠C和∠D$的数量关系并证明.
②∠C=2∠D,理由如下:
∵AD//BC,∴∠D=∠DBC.
∵AB=AD,∴∠D=∠ABD,
∴∠ABD=∠DBC=∠D,∴∠ABC=2∠D.
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=2∠D.
(2)如果$∠C= 2∠D$,AD与BC有什么位置关系? 请证明你的结论.
AD//BC,理由如下:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2∠D.
∵AB=AD,∴∠ABD=∠D.
又∠ABC=∠ABD + ∠DBC,∴∠DBC=∠D,
∴AD//BC.

答案：
(1)①40
②∠C=2∠D,理由如下:
∵AD//BC,
∴∠D=∠DBC.
∵AB=AD,
∴∠D=∠ABD,
∴∠ABD=∠DBC=∠D,
∴∠ABC=2∠D.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=2∠D.
(2)AD//BC,理由如下:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2∠D.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠D.
又∠ABC=∠ABD + ∠DBC,
∴∠DBC=∠D,
∴AD//BC.

18. 方程思想 (2025·重庆黔江区期末)在$△ABC$中,$AB= AC$,BD平分$∠ABC$,交AC于点D,$BD= AD.$
(1)如图(1),求$∠BAC$的度数;
(2)如图(2),E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.求证:$AF= AB+BC.$

答案：
(1)设∠ABD = x°.
方程思想是解决三角形内角问题的常用思想
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABD=x°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=2x°.
∵BD=AD,
∴∠A=∠ABD=x°.
在△ABC中,∠A + ∠ABC + ∠C=180°,
∴x + 2x + 2x=180,解得x=36,
∴∠A=36°.
∴∠BAC的度数为36°.
(2)
∵E是AB的中点,BD=AD,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴AF=BF,
∴∠FBA=∠FAB=72°,
∴∠AFB=∠FAC=36°,
∴CA=CF,
∴AB=AC=CF,
∴AF=BF=BC + CF=AB + BC.