《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

【例1】(第十五届WMO选拔赛复赛)如图,在一个大正方形内,放入三个面积相等的小正方形纸片,这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米,且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米,则大正方形的面积是(单位:平方厘米)（B）.
A.40
B.25
C.26
D.36

答案： B

【例2】(第二届“天问杯”全国初中数学邀请赛)完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$中,右边各项系数为1,2,1.如图所示,$(a+b)^{3},(a+b)^{4},... ,$$(a+b)^{n}$展开后的各项系数有什么规律.试使用这个规律,算出$1.02^{8}$的百分位是____.
$n=2$ ……………… 1 2 1
$n=3$ ……………… 1 3 3 1
$n=4$ …………… 1 4 6 4 1
$n=5$ ………… 1 5 10 10 5 1
$n=6$ ……… 1 6 15 20 15 6 1
7

答案： 解：由题中规律可知，$(a+b)^n$展开式的各项系数为杨辉三角第$n+1$行的数。
$1.02^8=(1+0.02)^8$，根据杨辉三角，$n=8$时各项系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1。
展开式为：$1×1^8×(0.02)^0 + 8×1^7×(0.02)^1 + 28×1^6×(0.02)^2 + 56×1^5×(0.02)^3 + 70×1^4×(0.02)^4 + \cdots$
计算前四项：
第一项：$1×1×1 = 1$
第二项：$8×1×0.02 = 0.16$
第三项：$28×1×0.0004 = 0.0112$
第四项：$56×1×0.000008 = 0.000448$
后续项数值更小，对百分位无影响。
前四项相加：$1 + 0.16 + 0.0112 + 0.000448 = 1.171648$
所以$1.02^8$的百分位是7。
7

1.(第十五届WMO选拔赛复赛)已知$(x-1)^{x^{2}-1}= 1$,则x的值为(B).
A.±1
B.-1,2
C.1,2
D.0,-1

答案： B

2.(全国初中数学竞赛初赛)若正整数a,b,c满足$a≤$$b≤c且abc= 2(a+b+c)$,则称$(a,b,c)$为好数组.那么好数组的个数为(B).
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： B [解析]若(a,b,c)为好数组,则abc=2(a+b+c)≤6c,所以ab≤6.显然a只能为1或2.若a=2,由ab≤6可得b=2或3,b=2时可得c=4,b=3时可得$c=\frac{5}{2}$(不是整数,舍去);若a=1,则bc=2(1+b+c),可得(b-2)(c-2)=6,可求得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5).综上所述,共有3个好数组,分别为(2,2,4),(1,3,8)和(1,4,5).

3.(全国初中数学竞赛初赛)已知正整数a,b,c满足$a^{2}-6b-3c+9= 0,-6a+b^{2}+c= 0$,则$a^{2}+$$b^{2}+c^{2}$等于(C).
A.424
B.430
C.441
D.460

答案： C [解析]由题意整理得$(a-9)^2+3(b-1)^2=75$,所以$3(b-1)^2≤75$.
→将两个等式变形后消去c,再配成完全平方式
又b为正整数,解得1≤b≤6.
若b=1,则$(a-9)^2=75$,无正整数解;
若b=2,则$(a-9)^2=72$,无正整数解;
若b=3,则$(a-9)^2=63$,无正整数解;
若b=4,则$(a-9)^2=48$,无正整数解;
若b=5,则$(a-9)^2=27$,无正整数解;
若b=6,则$(a-9)^2=0$,解得a=9,此时c=18.
因此a=9,b=6,c=18,故$a^2+b^2+c^2=441$.

4.(湖南师大附中自主招生)设$a＞b＞0,a^{2}+b^{2}=4ab$,则$\frac {a+b}{a-b}$的值等于$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$ [解析]由$a^2+b^2=4ab$,可得
$(a+b)^2=6ab$①,
$(a-b)^2=2ab$②,
①÷②得$(\frac{a+b}{a-b})^2=3$,
∵a＞b＞0,
∴a-b＞0,
∴$\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{3}$.

5.(第十五届WMO选拔赛复赛)已知$a= \frac {13}{60},b= \frac {15}{13}$,则代数式$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$的值为1.

答案： 1

6.(全国初中数学竞赛复赛)设A,B是两个不同的两位数,且B是由A交换个位数字和十位数字所得,如果$A^{2}-B^{2}$是完全平方数,求A的值.

答案： 设A=10a+b,a,b为正整数且1≤a≤9,1≤b≤9,a≠b,则B=10b+a,$A^2-B^2=(10a+b)^2-(10b+a)^2=99(a^2-b^2)=3^2×11(a^2-b^2)$.因为$A^2-B^2$是完全平方数且$a^2-b^2≤9^2-1^2=80$,所以$a^2-b^2=11$或$a^2-b^2=2^2×11$,易知当a=1,2,3时,$a^2＜11$,不符合题意;当a=4时,$b^2=5$,不符合;当a=5时,$b^2=14$,不符合;当a=6时,b=5;当a=7时,$b^2=38$,不符合;当a=8时,$b^2=53$,不符合;当a=9时,$b^2=70$,不符合.综上,a=6,b=5,则A=65.