《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

9. 燕尾型 [模块探究]
如图(1),求证：$∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C$.
[直观应用]
(1)应用上述结论,若图(2)中,$∠EOF = α$,则$∠A$,$∠B$,$∠C$,$∠D$,$∠E$,$∠F$的度数之和等于______. (直接给出结论,不必说明理由)
(2)应用上述结论,求图(3)所示的五角星中,$∠A$,$∠B$,$∠C$,$∠D$,$∠E$的度数之和是多少？证明你的结论.

答案：
[模块探究]延长BO交AC于点D，如图
(1).
∵∠BOC=180°-∠DOC=180°-(180°-∠C-∠CDO)=∠C+∠CDO，
同理，∠CDO=∠A+∠B，
→由下一节三角形外角的性质可直接求得
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C.
[直观应用]
(1)2α [解析]由上述结论得∠BOC=∠A+∠B+∠C，∠EOF=∠D+∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠EOF=2α.
(2)∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之和是180°.证明如下：
如图
(2).
∵∠BOC=∠A+∠B+∠C，∠BOC=∠EOD，
∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠D=∠E+∠D+∠EOD=180°.

10. 分类讨论思想 (2025·宁夏银川期末)定义：在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫作“友爱三角形”. 例如：在$\triangle ABC$中,如果$∠A = 80^{\circ}$,$∠B = 40^{\circ}$,那么$∠A与∠B$互为“友爱角”,$\triangle ABC$为“友爱三角形”.
(1)如图(1),$\triangle ABC$是“友爱三角形”,且$∠A与∠B$互为“友爱角”($∠A ＞ ∠B$),$∠ACB = 90^{\circ}$.
①求$∠A$,$∠B$的度数.
②若$CD是\triangle ABC中AB$边上的高,则$\triangle ACD$,$\triangle BCD$都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2)如图(2),在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 70^{\circ}$,$∠A = 66^{\circ}$,$D是边AB$上一点(不与点$A$,$B$重合),连接$CD$,若$\triangle ACD$是“友爱三角形”,直接写出$∠ACD$的度数.

答案：
(1)①
∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A＞∠B)，
∴∠A=2∠B.
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=180°-90°=90°，即2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°，
∴∠A=60°.
②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”.理由如下：
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠A=60°，∠B=30°，
∴∠ACD=30°，∠BCD=60°.
在△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°，
∴∠ACD= $\frac{1}{2}$∠A，
∴△ACD为“友爱三角形”.
在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°，
∴∠B= $\frac{1}{2}$∠BCD，
∴△BCD为“友爱三角形”.
(2)
∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，
∴∠ACD= $\frac{1}{2}$∠A或∠ACD= $\frac{1}{2}$∠ADC.
当∠ACD= $\frac{1}{2}$∠A时，∠ACD= $\frac{1}{2}$∠A=33°；
当∠ACD= $\frac{1}{2}$∠ADC时，
∠A+3∠ACD=180°，即3∠ACD=114°，
∴∠ACD=38°.
综上所述，∠ACD的度数为33°或38°.
思路引导
(1)①利用“友爱三角形”的定义及∠A＞∠B结合∠A+∠B=180°-90°=90°解答；②由∠A=60°，∠B=30°，∠ADC=∠BDC=90°，求出∠BCD=60°，∠ACD=30°，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论；
(2)利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答.

11. (2024·陕西中考)如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AD是边BC$上的高,$E是BC$的中点,连接$AE$,则图中的直角三角形共有(C).

A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个

答案： C [解析]因为∠BAC=90°，所以△ABC是直角三角形.
因为AD是边BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°，
所以△ABD，△AED，△ACD都是直角三角形，
所以图中的直角三角形共有4个.故选C.