《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

16. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 (2025·福建漳州期中)在学习乘法公式$ (a ± b)^{2}= a^{2}±2ab + b^{2} $的运用时,我们常利用完全平方公式求最大值或最小值. 例如:求代数式$ x^{2}+4x + 5 $的最小值? 总结出如下解答方法:
解:$ x^{2}+4x + 5 = x^{2}+4x + 4 + 1= (x + 2)^{2}+1 $,
$ ∵(x + 2)^{2}≥0 $,$ ∴ 当 x = -2 $时,$ (x + 2)^{2} $的值最小,最小值是0,$ ∴(x + 2)^{2}+1≥1 $,$ ∴ 当 x = -2 $时,$ (x + 2)^{2}+1 $的值最小,最小值是1,$ ∴x^{2}+4x + 5 $的最小值是1.
根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题:
(1)求代数式$ x^{2}+2x + 2 $最小值;
(2)求代数式$ -x^{2}+6x - 4 $的最大值;
(3)当$ a,b $为何值时,多项式$ a^{2}-2ab + 2b^{2}-2a - 4b + 27 $有最小值,并求出这个最小值.

答案：
(1)$x^{2}+2x+2=x^{2}+2x+1+1=(x+1)^{2}+1,$$\because (x+1)^{2}≥0,\therefore (x+1)^{2}+1≥1,$
∴当$x=-1$时$x^{2}+2x+2$的最小值是 1.
(2)$-x^{2}+6x-4=-(x^{2}-6x)-4$$=-(x^{2}-6x+9-9)-4=-(x^{2}-6x+9)+9-4$$=-(x-3)^{2}+5,$$\because (x-3)^{2}≥0,\therefore -(x-3)^{2}≤0,$$\therefore -(x-3)^{2}+5≤5$,
∴当$x=3$时,$-x^{2}+6x-4$的最大值是 5.
(3)$a^{2}-2ab+2b^{2}-2a-4b+27$$=a^{2}-2a+1-2ab+2b+b^{2}+b^{2}-4b-2b+9+17$$=(a-1)^{2}-2b(a-1)+b^{2}+(b-3)^{2}+17$$=(a-1-b)^{2}+(b-3)^{2}+17.$$\because (a-1-b)^{2}≥0,(b-3)^{2}≥0,$$\therefore (a-1-b)^{2}+(b-3)^{2}+17≥17,$
∴当$a=4,b=3$时,$a^{2}-2ab+2b^{2}-2a-4b+27$的最小值是 17.

17. 所谓完全平方式,就是对一个整式$ M $,如果存在另一个整式$ N $,使$ M = N^{2} $,则称$ M $是完全平方式,如$ x^{4}= (x^{2})^{2},x^{2}+2xy + y^{2}= (x + y)^{2} $,则称$ x^{4},x^{2}+2xy + y^{2} $是完全平方式.
(1)下列各式中是完全平方式的有②⑤⑥.(填写编号)①$ a^{2}+4a + 4b^{2} $;②$ 4x^{2} $;③$ x^{2}-xy + y^{2} $;④$ y^{2}-10y - 25 $;⑤$ x^{2}+12x + 36 $;⑥$ \frac{1}{49}a^{2}-2a + 49 $.
(2)证明:多项式$ x(x + 4)^{2}(x + 8)+64 $是一个完全平方式.
$x(x+4)^{2}(x+8)+64$$=(x^{2}+8x)(x^{2}+8x+16)+64$$=(x^{2}+8x)^{2}+16(x^{2}+8x)+64$$=(x^{2}+8x+8)^{2},$∴多项式$x(x+4)^{2}(x+8)+64$是一个完全平方式.
(3)已知$ a,b,c 是 △ABC $的三边长,满足$ a^{2}+b^{2}+2c^{2}= 2c(a + b) $,判断$ △ABC $的形状.
$\because a^{2}+b^{2}+2c^{2}=2c(a+b)=2ac+2bc,$$\therefore a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}=0.$$\therefore (a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0.$$\therefore a-c=0,b-c=0.\therefore a=b=c.$∴△ABC 是等边三角形.

答案：
(1)②⑤⑥ [解析]①$a^{2}+4a+4b^{2}$不是完全平方式,不符合题意;②$4x^{2}=(2x)^{2}$,符合题意;③$x^{2}-xy+y^{2}=$$(x-y)^{2}+xy$,不符合题意;④$y^{2}-10y-25=(y-5)^{2}-$50,不符合题意;⑤$x^{2}+12x+36=(x+6)^{2}$,符合题意;⑥$\frac {1}{49}a^{2}-2a+49=(\frac {1}{7}a-7)^{2}$,符合题意.
(2)$x(x+4)^{2}(x+8)+64$$=(x^{2}+8x)(x^{2}+8x+16)+64$$=(x^{2}+8x)^{2}+16(x^{2}+8x)+64$$=(x^{2}+8x+8)^{2},$
∴多项式$x(x+4)^{2}(x+8)+64$是一个完全平方式.
(3)$\because a^{2}+b^{2}+2c^{2}=2c(a+b)=2ac+2bc,$$\therefore a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}=0.$$\therefore (a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0.$$\therefore a-c=0,b-c=0.\therefore a=b=c.$
∴△ABC 是等边三角形.