《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

【例1】(全国初中数学竞赛)分解因式：$x^{3}+3x^{2}-4$.

答案： 解：$x^{3}+3x^{2}-4$
$=x^{3}-1+3x^{2}-3$
$=(x-1)(x^{2}+x+1)+3(x^{2}-1)$
$=(x-1)(x^{2}+x+1)+3(x-1)(x+1)$
$=(x-1)[x^{2}+x+1+3(x+1)]$
$=(x-1)(x^{2}+x+1+3x+3)$
$=(x-1)(x^{2}+4x+4)$
$=(x-1)(x+2)^{2}$

【例2】(浙江宁波效实中学自主招生)已知实数$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，则$ab + bc + ca$的最小值为$-\frac{1}{2}$，此时$a^{2}+b^{2}+ab=$$\frac{1}{2}$.

答案： 解：因为$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$，且$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，所以$(a + b + c)^2 = 1 + 2(ab + bc + ca)$。
由于$(a + b + c)^2 \geq 0$，则$1 + 2(ab + bc + ca) \geq 0$，可得$ab + bc + ca \geq -\frac{1}{2}$。
当$a + b + c = 0$时，等号成立，此时$ab + bc + ca$取得最小值$-\frac{1}{2}$。
不妨设$c = 0$，则$a + b = 0$，即$b = -a$。又因为$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，所以$a^2 + (-a)^2 + 0^2 = 1$，即$2a^2 = 1$，$a^2 = \frac{1}{2}$，$b^2 = \frac{1}{2}$。
则$a^2 + b^2 + ab = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + a(-a) = 1 - a^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
$-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$

1. 分解因式：$x^{4}+x^{2}+1= $$(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$.

答案： 【解析】：
本题是一个二次项系数为1的二次齐次式，可以考虑使用配方法，将原式转化为完全平方公式的形式，再利用平方差公式进行因式分解。
首先，将原式$x^{4}+x^{2}+1$进行配方，得到：
$x^{4}+x^{2}+1=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}$
这可以看作是$(x^{2}+1)^{2}-x^{2}$，即一个平方差的形式。
利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，将上式进行因式分解，得到：
$(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=(x^{2}+1+x)(x^{2}+1-x)$。
【答案】：
$(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$。

2. 分解因式：$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=$$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$.

答案： 解：$\begin{aligned}a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc&=(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc\\&=(a+b+c)[(a+b)^2 - (a+b)c + c^2] - 3ab(a+b+c)\\&=(a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)\\&=(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\end{aligned}$
$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

3. (希望杯数学竞赛题)分解因式：$x^{2}y^{2}-5x^{2}y+6x^{2}-y^{2}+5y - 6$.

答案： $x^{2}y^{2}-5x^{2}y+6x^{2}-y^{2}+5y-6=x^{2}(y^{2}-5y+6)-(y^{2}-5y+6)=(x+1)(x-1)(y-2)(y-3).$

4. (希望杯初二组)分解因式：$a^{2}(b - c)+b^{2}(c - a)+c^{2}(a - b)$.

答案： 原式$=a^{2}b-ca^{2}+c^{2}a-b^{2}a+b^{2}c-c^{2}b$
$=(b-c)a^{2}+(c^{2}-b^{2})a+bc(b-c)$
$=(b-c)[a^{2}-(b+c)a+bc]$
$=(b-c)[a^{2}-ab-ac+bc]$
$=(b-c)[a(a-b)-c(a-b)]$
$=(b-c)(a-b)(a-c).$

5. (安徽淮南二中自主招生)分解因式：$(x^{2}y^{2}+x + y)-(x^{2}y+xy^{2}+1)$.

答案： 原式$=x^{2}y^{2}+x+y-x^{2}y-xy^{2}-1$
$=x^{2}y^{2}-1-xy(x+y)+x+y$
$=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)$
$=(xy-1)(xy+1-x-y)$
$=(xy-1)(x-1)(y-1).$

6. (重庆北碚区自主招生)对任意一个两位数$m$,如果$m$等于两个正整数的平方和,那么称这个两位数$m$为“平方和数”,若$m = a^{2}+b^{2}$($a$,$b$为正整数),记$A(m)= ab$.例如：$29 = 2^{2}+5^{2}$,29就是一个“平方和数”,则$A(29)= 2×5 = 10$.
(1)判断25是否是“平方和数”,若是,请计算$A(25)$的值；若不是,请说明理由；
(2)若$k$是一个“平方和数”,且$A(k)= \frac{k - 4}{2}$,求$k$的值.

答案：
(1)25是“平方和数”.
$\because 25=3^{2}+4^{2},\therefore A(25)=3×4=12.$
(2)设$k=a^{2}+b^{2}$,则$A(k)=ab,$
$\because A(k)=\frac {k-4}{2},\therefore ab=\frac {a^{2}+b^{2}-4}{2},$
$\therefore 2ab=a^{2}+b^{2}-4,\therefore a^{2}-2ab+b^{2}=4,$
$\therefore (a-b)^{2}=4,$
$\therefore a-b=\pm 2$,即$a=b+2$或$b=a+2.$
$\because a,b$为正整数,k为两位数,
∴当$a=1,b=3$或$a=3,b=1$时,$k=10;$
当$a=2,b=4$或$a=4,b=2$时,$k=20;$
当$a=3,b=5$或$a=5,b=3$时,$k=34;$
当$a=4,b=6$或$a=6,b=4$时,$k=52;$
当$a=5,b=7$或$a=7,b=5$时,$k=74;$
综上,k的值为10或20或34或52或74.