《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

10. (2025·上海实验学校期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC于D,EC⊥BC于C,且AB= BE,CD= CE.
(1)求证：AB= AC；
(2)求证：Rt△ABD≌Rt△BEC.

答案：
(1)
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADB和△ADC中,{∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=∠ADC},
∴△ADB≌△ADC(ASA),
∴AB=AC.
(2)
∵△ADB≌△ADC,
∴BD=CD.
∵CD=CE,
∴BD=CE.
∵EC⊥BC,
∴∠BCE=90°.在Rt△ABD和Rt△BEC中,{AB=BE,BD=EC},
∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL).

11. (2024·江苏南京二十九中月考)求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.(要求：根据题意画出图形,写出已知、求证并证明)

答案：
已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠ACB=∠A'C'B'=90°,CD⊥AB于点D,C'D'⊥A'B'于点D',BC=B'C',CD=C'D'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.证明:
∵CD⊥AB于点D,C'D'⊥A'B'于点D',
∴∠CDB=∠C'D'B'=90°.在Rt△CDB和Rt△C'D'B'中,{BC=B'C',CD=C'D'},
∴Rt△CDB≌Rt△C'D'B'(HL),
∴∠B=∠B'.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,{∠ACB=∠A'C'B'=90°,BC=B'C',∠B=∠B'},
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(ASA).

已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C= ∠C'= 90°,AC= A'C',AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线且AD=A'D'.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明:∵∠C=∠C'=90°,AD=A'D',AC=A'C',∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL),∴CD=C'D'.∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，∴BC=2CD,B'C'=2C'D',∴BC=B'C'.在△ABC和△A'B'C'中,{AC=A'C',∠C=∠C'=90°,BC=B'C'},∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS).

答案： AD=A'D'　　Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(写成△ABC≌△A'B'C'也对)证明:
∵∠C=∠C'=90°,AD=A'D',AC=A'C',
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL),
∴CD=C'D'.
∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，
∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，
∴BC=2CD,B'C'=2C'D',
∴BC=B'C'.在△ABC和△A'B'C'中,{AC=A'C',∠C=∠C'=90°,BC=B'C'},
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS).

13. 手拉手模型如图,在△ABC和△ADE中,AB= AC,AD= AE,∠BAC= ∠DAE,CE的延长线交BD于点F.
(1)求证：△ACE≌△ABD；
(2)若∠BAC= ∠DAE= 50°,请直接写出∠BFC的度数；
(3)过点A作AH⊥BD于点H,求证：EF+DH= HF.

答案：

(1)
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠CAE=∠BAD.在△ACE和△ABD中,{AC=AB,∠CAE=∠BAD,AE=AD},
∴△ACE≌△ABD(SAS).
(2)
∵△ACE≌△ABD,
∴∠AEC=∠ADB,
∴∠AEF+∠AEC=∠AEF+∠ADB=180°,
∴∠DAE+∠DFE=180°.
∵∠BFC+∠DFE=180°,
∴∠BFC=∠DAE=∠BAC=50°.
(3)如图,连接AF,过点A作AJ⊥CF于点J.
∵△ACE≌△ABD,
∴S△ACE=S△ABD,CE=BD.
∵AJ⊥CE,AH⊥BD,
∴$\frac{1}{2}$CE·AJ=$\frac{1}{2}$BD·AH,
∴AJ=AH.面积法是求线段之间关系的常用方法在Rt△AFJ和Rt△AFH中,{AF=AF,AJ=AH},
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),
∴FJ=FH.在Rt△AJE和Rt△AHD中,{AE=AD,AJ=AH},
∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL),
∴EJ=DH,
∴EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.