《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2025·上海松江区期末)下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是(D).
A.$ x^{2}+2x - 1 $
B.$ x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4} $
C.$ x^{2}+2x + 4 $
D.$ x^{2}-6x + 9 $

答案： 1. D [解析]$x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$. 故选 D.

2. (2025·湖北武汉江岸区期末)下面分解因式正确的是(C).
A.$ 4a^{2}-4a + 1 = 4a(a - 1)+1 $
B.$ a^{2}-4b^{2}= (a + 4b)(a - 4b) $
C.$ 4a^{2}-12a + 9= (2a - 3)^{2} $
D.$ 2ab - a^{2}-b^{2}= -(a + b)^{2} $

答案： 2. C [解析]A. 原式$=(2a-1)^{2}$,不符合题意;
B. 原式$=(a+2b)(a-2b)$,不符合题意;
C. 原式$=(2a-3)^{2}$,符合题意;
D. 原式$=-(a^{2}-2ab+b^{2})=-(a-b)^{2}$,不符合题意. 故选 C.

3. (2025·四川德阳旌阳区期末)如果多项式$ x^{2}+1 $加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,则添加的单项式不可以是(D).
A.$ 2x $
B.$ -2x $
C.$ \frac{1}{4}x^{4} $
D.$ -\frac{1}{4}x^{4} $

答案： 3. D [解析]A.$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$,不符合题意;
B.$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$,不符合题意;
C.$\frac {1}{4}x^{4}+x^{2}+1=(\frac {1}{2}x^{2}+1)^{2}$,不符合题意;
D.$x^{2}+1$加上$-\frac {1}{4}x^{4}$,无法构成完全平方式,符合题意.
故选 D.
归纳总结 完全平方式的特点:
(1)它是三项,或类似于三项的式子;
(2)首尾两项是某两个数或式的平方;
(3)中间一项是这两个数或式的积的 2 倍,它前面的符号可以是正号,也可以是负号.

4. (2025·山东烟台期中)已知一个圆的面积为$ 9πa^{2}+6πab + πb^{2}(a ＞ 0,b ＞ 0) $,则该圆的半径是(A).
A.$ 3a + b $
B.$ 9a + b $
C.$ 3ab $
D.$ 3πa + πb $

答案： 4. A [解析]
∵原式$=π(9a^{2}+6ab+b^{2})=π(3a+b)^{2}=$$πR^{2},\therefore R=3a+b$,即半径为$3a+b$. 故选 A.

5. 若$ x + y = 3 $,则$ \frac{1}{2}x^{2}+xy+\frac{1}{2}y^{2}= $$\frac {9}{2}$.

答案： $\frac {9}{2}$

6. (2024·通辽中考)分解因式:$ 3ax^{2}-6axy + 3ay^{2}= $$3a(x-y)^{2}$.

答案： $3a(x-y)^{2}$[解析]$3ax^{2}-6axy+3ay^{2}=3a(x^{2}-2xy+$$y^{2})=3a(x-y)^{2}.$

7. 教材P130例4·变式 把下列各式因式分解:
(1)$ a^{2}-ab+\frac{1}{4}b^{2} $;
(2)$ -m^{2}+10m - 25 $.

答案：
(1)原式$=(a-\frac {1}{2}b)^{2}.$
(2)原式$=-(m^{2}-10m+25)=-(m-5)^{2}.$

8. (2025·山东德州期末)已知$ m^{2}= 3n + a,n^{2}= 3m + a,m ≠ n $,则$ m^{2}+2mn + n^{2} $的值为(A).
A.9
B.6
C.4
D.无法确定

答案： 8. A [解析]$\because m^{2}=3n+a,n^{2}=3m+a,\therefore m^{2}-n^{2}=3n-$$3m,\therefore (m+n)(m-n)+3(m-n)=0,$$\therefore (m-n)[(m+n)+3]=0.$$\because m≠n,\therefore (m+n)+3=0,\therefore m+n=-3,$$\therefore m^{2}+2mn+n^{2}=(m+n)^{2}=(-3)^{2}=9$. 故选 A.

9. (2025·重庆开州区期末)已知$ m = 4n + 6 $,且$ m^{2}-6mn + 16n^{2}= 35 $,则$ m^{2}n - 4mn^{2} $的值为-3.

答案： -3 [解析]$\because m=4n+6,\therefore m-4n=6,$$\therefore (m-4n)^{2}=36,\therefore m^{2}-8mn+16n^{2}=36,$$\therefore m^{2}+16n^{2}=36+8mn.$$\because m^{2}-6mn+16n^{2}=35,$$\therefore 36+8mn-6mn=35,\therefore mn=-\frac {1}{2},$$\therefore m^{2}n-4mn^{2}=mn(m-4n)=-\frac {1}{2}×6=-3.$

10. (2025·天津河北区期末)已知$ a = 2024x + 2023 $,$ b = 2024x + 2024 $,$ c = 2024x + 2025 $,那么$ a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac $的值等于3.

答案： 3 [解析]由题意,得$a-b=(2024x+2023)-$$(2024x+2024)=-1,$$a-c=(2024x+2023)-(2024x+2025)=-2,$$c-b=(2024x+2025)-(2024x+2024)=1,$$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$$=\frac {1}{2}(a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+a^{2}-2ac+c^{2})$$=\frac {1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}]$$=\frac {1}{2}×[(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}]=3.$

11. (2024·江苏南通期中)请同学们运用公式$ (a + b + c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc $解决问题:已知$ a,b,c 满足 a^{2}+b^{2}+c^{2}= 6 $,则$ (a + b)^{2}+(b + c)^{2}+(c + a)^{2} $的最小值为____6.

答案： 6 [解析]$\because (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}=2a^{2}+2b^{2}+$$2c^{2}+2ab+2ac+2bc=a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+$$2ac+2bc=a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2},$$\therefore (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}=6+(a+b+c)^{2}≥6,$
∴当$a+b+c=0$时,$(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}$的最小值为 6.

12. 将下列各式因式分解:
(1)$ 3x^{3}-12x^{2}y + 12xy^{2} $;
(2)$ (x^{4}+y^{4})^{2}-(2x^{2}y^{2})^{2} $.

答案：
(1)原式$=3x(x^{2}-4xy+4y^{2})=3x(x-2y)^{2}.$
(2)原式$=(x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2})(x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2})=(x^{2}-$$y^{2})^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}(x-y)^{2}(x+y)^{2}.$