《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

8. (2024·湖南湘西州期末)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 12cm,BC= 6cm,过点A作射线AX⊥AC,P,Q分别为线段AC和射线AX上的点,且PQ= AB.若以A,B,C为顶点的三角形与以A,P,Q为顶点的三角形全等,则AP的值为____6 cm或12 cm.

答案： 6 cm或12 cm [解析]有如下两种情况：
①当△ABC≌△QPA时,根据全等三角形的性质得出AP=BC=6 cm；②当△ABC≌△PQA时,根据全等三角形的性质得出AP=AC=12 cm.
故AP的值为6 cm或12 cm.

9. (2025·江西南昌东湖区期末)如图,在△ABC中,∠B= ∠C,AC= AB= 8,BC= 6,点D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上以每秒a(a＞0)个单位的速度由点C向点A运动.设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).
(1)线段PC= ____6 - 2t(用含t的代数式表示);
(2)若点P,Q的运动速度相等,t= 1时,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由.
当t=1时,△BPD与△CQP全等.理由如下：依题意,得BP=2,CQ=2，∴BP=CQ=2,CP=BC - BP=4.∵AC=AB=8,点D为AB的中点，∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4,∴BD=CP.在△BPD和△CQP中，{BP=CQ，∠B=∠C，BD=CP}∴△BPD≌△CQP(SAS).

答案：
(1)6 - 2t [解析]依题意,得BP=2t，
∵BC=6,
∴PC=BC - BP=6 - 2t.
(2)当t=1时,△BPD与△CQP全等.理由如下：
依题意,得BP=2,CQ=2，
∴BP=CQ=2,CP=BC - BP=4.
∵AC=AB=8,点D为AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4,
∴BD=CP.
在△BPD和△CQP中，{BP=CQ，∠B=∠C，BD=CP}
∴△BPD≌△CQP(SAS).

10. 如图,在△AOB和△COD中,OA= OB,OC= OD,OA＜OC,∠AOB= ∠COD= 36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.
(1)求证:AC= BD;
(2)求∠AMB的度数.

答案：
(1)
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中，{OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD}
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴AC=BD.
(2)由
(1),得∠OAC=∠OBD，
由三角形外角的性质，得∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB=∠AOB=36°.

11. (2025·山东烟台招远期末)如图,在五边形ABC-DE中,AB= DE,AC= AD.
(1)请你添加一个与角有关的条件,使得△ABC≌△DEA,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,若∠CAD= 65°,∠B= 110°,求∠BAE的度数.

答案：
(1)添加一个角方面的条件为∠BAC=∠EDA，使得△ABC≌△DEA.理由如下：
在△ABC和△DEA中，{AB=DE，∠BAC=∠EDA，AC=DA}
∴△ABC≌△DEA(SAS).
(2)
∵△ABC≌△DEA,
∴∠ACB=∠DAE.
∵∠CAD=65°,∠B=110°，
∴∠ACB+∠BAC=180° - ∠B=70°，
∴∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠BAC=70°，
∴∠BAE=∠DAE+∠BAC+∠CAD=70°+65°=135°.