《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

11. (2025·山东淄博张店七中月考)如图,小琪的作业本上有这样一道填空题,其中有一部分被墨水污染了,若把污染的部分记为代数式A,且该题化简的结果为$\frac {1}{x+3}.$

(1)求代数式A.$x-4$
(2)该题化简的结果$\frac {1}{x+3}能等于\frac {1}{7}$吗? 为什么?该题的化简结果不能等于$\frac{1}{7}$,理由如下:当$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$时,则$x+3=7$,解得$x=4$,经检验$x=4$是方程$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$的解,$\because$当$x=4$时,$A=x-4=0$,即分式$\frac{x-4}{x-3}=0$,注意A作为除式的分子同样不能为0此时$\frac{x-4}{x^{2}-9}÷ 0$没有意义,$\therefore$该题的化简结果不能等于$\frac{1}{7}$.

答案：
(1)$\frac{x-4}{x^{2}-9}÷ \frac{A}{x-3}=\frac{x-4}{(x+3)(x-3)}\cdot \frac{x-3}{A}=\frac{x-4}{(x+3)A}$,$\because$该题化简的结果为$\frac{1}{x+3}$,$\therefore\frac{x-4}{(x+3)A}=\frac{1}{x+3}$,$\therefore A=\frac{x-4}{x+3}÷ \frac{1}{x+3}=\frac{x-4}{x+3}\cdot \frac{x+3}{1}=x-4$.
(2)该题的化简结果不能等于$\frac{1}{7}$,理由如下:当$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$时,则$x+3=7$,解得$x=4$,经检验$x=4$是方程$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$的解,$\because$当$x=4$时,$A=x-4=0$,即分式$\frac{x-4}{x-3}=0$,注意A作为除式的分子同样不能为0此时$\frac{x-4}{x^{2}-9}÷ 0$没有意义,$\therefore$该题的化简结果不能等于$\frac{1}{7}$.

(1)当$x＞0$时,随着x的增大,$1+\frac {1}{x}$的值减小(增大或减小);当$x＜0$时,随着x的增大,$\frac {x+2}{x}$的值减小(增大或减小);
(2)当$x＞1$时,随着x的增大,$\frac {2x+2}{x-1}$的值无限接近一个数,请求出这个数;
$\because\frac{2x+2}{x-1}=\frac{2(x-1)+4}{x-1}=2+\frac{4}{x-1}$,且当$x＞1$时,随着$x$的增大,$\frac{4}{x-1}$的值无限接近0,$\therefore\frac{2x+2}{x-1}$的值无限接近2.
(3)当$0≤x≤2$时,求代数式$\frac {5x-2}{x-3}$值的范围.
$\because\frac{5x-2}{x-3}=\frac{5(x-3)+13}{x-3}=5+\frac{13}{x-3}$,又$0\leqslant x\leqslant 2$,$\therefore-13\leqslant \frac{13}{x-3}\leqslant -\frac{13}{3}$,$\therefore-8\leqslant \frac{5x-2}{x-3}\leqslant \frac{2}{3}$.

答案：
(1)减小 减小 [解析]$\because$当$x＞0$时,$\frac{1}{x}$随着$x$的增大而减小,$\therefore$随着$x$的增大,$1+\frac{1}{x}$的值减小;$\because$当$x＜0$时,$\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}$,$\frac{2}{x}$随着$x$的增大而减小,$\therefore$随着$x$的增大,$\frac{x+2}{x}$的值减小.
(2)$\because\frac{2x+2}{x-1}=\frac{2(x-1)+4}{x-1}=2+\frac{4}{x-1}$,且当$x＞1$时,随着$x$的增大,$\frac{4}{x-1}$的值无限接近0,$\therefore\frac{2x+2}{x-1}$的值无限接近2.
(3)$\because\frac{5x-2}{x-3}=\frac{5(x-3)+13}{x-3}=5+\frac{13}{x-3}$,又$0\leqslant x\leqslant 2$,$\therefore-13\leqslant \frac{13}{x-3}\leqslant -\frac{13}{3}$,$\therefore-8\leqslant \frac{5x-2}{x-3}\leqslant \frac{2}{3}$.